59. Задача Дирихле для шара.

Рассмотрим шар радиуса R с центром в начале координат. Пусть — фиксированная точка шара, — точка, ей сопряженная, и — произвольная переменная точка. Тогда

и

Если ввести обозначения (рис. 64), то по теореме косинусов

Так как , то

Согласно доказанному в п. 55, функция — удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, кроме точки . Поэтому функция

будет гармонической всюду внутри шара, так как точка А лежит вне шара (точка А — сопряженная с точкой, лежащей внутри шара).

Рис. 64.

Далее, если точка Р расположена на границе шара — сфере Г, то и

Поэтому функция - является гармонической во всем шаре, и ее значения на сфере Г совпадают со значениями функции так как

Согласно определению (см. п. 55) функция Грина для шара имеет вид

После того как функция Грина найдена, можно по общей формуле (18.12) написать решение задачи Дирихле для шара. Для этого нужно предварительно вычислить значения производной от функции Грина по внешней нормали, т. е. при . Согласно формулам, определяющим имеем

Учитывая формулы (19.2), получим

Введем теперь сферические координаты с началом в

Обозначим координаты точки Р через , а координаты точки А — через Тогда в формуле (18.12)

будет функцией и нам остается только выразить через введенные сферические коордийаты величину из выражения (19.4).

Это можно сделать при помощи единичных векторов направлений ОА и ОР. Так как

то

Следовательно,

Таким образом, мы получаем окончательное решение задачи Дирихле для шара в следующем виде:

где вместо нужно подставить его выражение (19.5). Интеграл (19.6) называется интегралом Пуассона для шара.

Следует обратить внимание на то, что при выводе формулы (19.6) мы должны были предполагать, что точка А не совпадает с началом координат, т. е. что (так как центр сферы не имеет сопряженной точки). Но по непрерывности решения формула (19.6) останется в силе и при она тогда примет вид

означающий, что в центре сферы гармоническая функция имеет значение, равное среднему ее значений на сфере (теорема о среднем для гармонических функций).

Формула решения (19.6) довольна сложна, однако ею можно воспользоваться в некоторых частных случаях.

Если мы предположим, что граничная температура на всей сфере, то в силу единственности решения задачи Дирихле всюду внутри шара . Это означает, по формуле (19.6), что

для всех определяется по формуле (19.5)). Указанный факт можно проверить и непосредственно, правда, при этом приходится иметь дело с весьма сложными интегралами.

Пример 1. Дан однородный шар радиуса R, верхняя половина границы которого поддерживается при температуре 1, а нижняя — при температуре 0. Найдем стационарное распределение температуры вдоль диаметра шара (рис. 65).

Рис. 65.

Для точек верхней полусферы , для точек нижней полусферы следовательно,

Сложность формулы Пуассона (19.6) видна из того, что даже в этом простейшем случае распределения внешней температуры получить выражение для температуры во всех точках шара очень затруднительно. Поэтому мы и ограничиваемся лишь частным случаем.

Будем искать температуру в точках вертикального диаметра . Если точка А лежит на радиусе ON (т. е. в верхней части шара), то (см. формулу (19.5)).

Если же точка А лежит на радиусе OS, то .

По формуле (19.6) для точки А, лежащей на радиусе ON на расстоянии от О, получим

Для точки А, лежащей на радиусе OS на расстоянии от О,

Таким образом, температура на вертикальном диаметре SN равна

где верхний знак берется для верхней половины диаметра, а нижний — для нижней. Любопытно отметить, что полусумма температур в точках, одинаково удаленных от центра шара, равна .

Это же значение получится, если найти предел а при Можно показать, что полусумма температур двух точек, лежащих на любом диаметре и равноудаленных от центра, равна

Значительно более сложным оказывается вычисление температуры в точках экваториальной плоскости. Здесь Согласно формуле (19.6)

где интеграл распространен по верхней полусфере. Вычисление этою интеграла показывает, что и

Пример 2. Дан однородный шар радиуса R и на его границе — сфере Г — точка М со сферическими координатами (рис. 66). Проведем на Г с центром в точке М маленький кружок, видный из центра сферы под углом Площадь полученного сферического сегмента Е (заштрихован на рис. 66) равна

Пусть граничная температура на всей сфере Г, кроме сегмента S, равна на равна , т. е. величине, обратной площади сегмента i]. Найдем стационарное распределение температуры внутри шара при малых значениях угла

Применяя формулу (19.6), найдем, что в данном случае

— дифференциал площади сферы Г. По теореме о среднем интегрального исчисления это можег быть записано в виде

причем через обозначено среднее значение , соответствующее некоторой точке М со сферическими координатами лежащей в сегменте Е.

Рис. 66.

При граничная температура сведется к нулю на всей сфере Г, кроме точки М, где температура будет бесконечна (двумерная импульсная функция Дирака; см, стр. 164). Так как при то стационарное распределение температуры будет стремиться к

где согласно формуле (19.5)

Опуская теперь штрихи, мы можем сказать, что выражение

где определен формулой (19.5), является стационарным распределением температуры точке если на границе шара поддерживается всюду температура , кроме одной точки М с координатами в и в которой температура бесконечна (в смысле указанного выше предельного перехода при ).

Выражение (19.9) называется ядром Пуассона для шара. По формуле (19.8) интеграл от ядра Пуассона для шара по граничной сфере Г равен 1 для любых