26. Стоячие волны прямоугольной мембраны.

Функции описывают собственные колебания мембраны. Каждая из них представляет стоячую волну для прямоугольной мембраны. Запишем формулу (9.12) в виде

где

Ясно видно, что каждая точка мембраны совершает простое гармоническое колебание с частотой и амплитудой

Все точки проходя положение равновесия в одни и те же моменты времени, определяемые равенствами , где принимает значения . Точно так же одновременно точки достигают максимального отклонения (в ту или другую сторону). Для большей наглядности рассмотрим сначала самое простое колебание, соответствующее случаю

Его частота является наименьшей собственной частотой характеризует основной тон мембраны. Особенно просто выражение для часюты основного тона в случае квадратной пластинки . Здесь где — натяжение, а — плотность.

При колебании мембраны контур ее остается неподвижным. Так как внутри прямоугольника , то функции положительны и все точки мембраны одновременно находятся то по одну сюропу плоскости , то по другую (в зависимости от вилка ).

Наибольшую амплитуду колебаний будет иметь точка, для которой т. е. точка с координатами — центр мембраны.

Так же как и для струны, такие точки называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются, называются узловыми линиями (для рассматриваемого простейшего случая узловые линии совпадают с контуром мембраны). На рис. 33 изображена мембрана в тот момент, когда все ее точки достигают наибольшего отклонения вверх. Затем все отклонения уменьшаются, становятся равными нулю, после чего мембрана начинает прогибаться вниз. Гак же просто проанализировать колебания мембраны, описываемые функцией

Узловые линии определяются из уравнений . Помимо точек контура, это будет отрезок прямой

Рис. 33.

Рис. 34.

При функция положительна, а при — отрицательна; функция же везде положительна. Поэтому левая и прана половины мембраны будут прогибаться в разные стороны (рис. 34).

Соответственно будет две пучности - точки пересечения прямой с прямыми (При этих значениях х и у функции принимают значения ).

Рис. 35.

Рекомендуем читателю так же подробно рассмотреть колебания, соответствующие функциям (рис. 35 и 36).

Рис. 36.

Другие стоячие волны имеют более сложный вид. При колебаниях

помимо линий контура, будет узловая линия, параллельная оси и линия, параллельная оси этих значениях собственные функции обращаются в нуль).

Эти линии разобьют мембрану на прямоугольников, причем в двух соседтшх (т. е. имеющих общую сюрону) отклонения будут направлены в разные стороны. Центр каждого такого прямоугольника будет являться пучностью.