§ 5. Продольные колебания стержня

15. Подстановка задачи и метод решения.

В этом параграфе нами будет рассмотрена задача о продольных колебаниях однородного стержня. Стержень — это тело цилиндрической (в частности, призматической) формы, для растяжения или сжатия которого надо приложить известное усилие. Мы будем считать, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое из поперечных сечений стержня (рис. 23) перемещается поступательно только вдоль оси стержня.

Обычно это предположение оправдывается, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, а силы, действующие вдоль оси стержня, сравнительно невелики. На практике продольные колебания возникают чаще всего тогда, когда стержень предварительно немного растягивается или, наоборот, сжимается, а затем предоставляется самому себе. В этом случае в нем возникают свободные продольные колебания. Выведем уравнения этих колебаний.

Направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 23); в состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абсциссы Рассмотрим сечение ; — его абсцисса в состоянии покоя.

Рис. 23.

Смещение этого сечения в любой момент времени t будет характеризоваться функцией для отыскания которой мы и должны составить дифференциальное уравнение. Найдем прежде всего относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями Если абсцисса сечения в состоянии покоя , то смещение этого сечения в момент времени t с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно

Поэтому относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой в момент времени t равно

Считая, что силы, вызывающие это удлинение, подчиняются закону Гука, найдем величину силы натяжения Т, действующей на сечение :

(5.2)

где - площадь поперечного сечения стержня, а — модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня. Формула (5.2) должна быть хорошо известна читателю из курса сопротивления материалов.

Соответственно сила действующая на сечение равна

Поскольку силы заменяют действие отброшенных частей стержня, их результирующая равна разности

Считая выделенный участок стержня материальной точкой с массой , где — объемная плотность стержня, и применяя к нему второй закон Ньютона, составим уравнение

Сокращая на и вводя обозначение получим дифференциальное уравнение свободных продольных колебаний стержня

Если дополнительно предпоюжить, что к стержню приложена внешняя сила рассчитанная на единицу объема и действующая вдоль оси стержня, то к правой части соотношения (5 3) добавится слагаемое и уравнение (5.4) примет вид

что в точности совпадает с уравнением вынужденных котебаний струны.

Перейдем теперь к установлению начальных и краевых условий задачи и рассмотрим практически наиболее интересный случай, когда один конец стержня закреплен, и другой — свободен.

Если считать неподвижным копей стержня, совпадающий с началом координат, то

На свободном конце краевое условие будет иметь иной вид. Так как на этом конце внешние силы отсутствуют, то должна быть равна нулю и сила Т, действующая в сечении , т. е.

откуда

Колебания происходят оттого, что в начальный момент стержень был деформирован (растянут или сжат) и точкам стержня были приданы некоторые начальные скорости. Следовательно, мы должны знать смещение поперечных сечений стержня в момент

а также начальные скорости точек стержня

Итак, задача о свободных продольных колебаниях стержня, закрепленного на одном конце, возникающих благодаря начальному сжатию или растяжению, привела нас к уравнению

с начальными условиями

и краевыми условиями

Именно последнее условие и отличает с математической точки зрения рассматриваемую задачу от задачи о колебаниях струны, закрепленной на обоих концах.

Будем решать поставленную эадачу методом Фурье, т. е. отыскивать частные решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям (5.8), в виде

причем .

Так как дальнейший ход решения аналогичен уже изложенному в § 3, ограничимся только краткими указаниями. Дифференцируя функцию , подставляя полученные выражения в (5.6) и разделяя переменные, получим

(Предоставляем читателю самостоятельно установить, что в силу краевых условий постоянная в правой части не может быть числом положительным или нулем.) Общее решение уравнения имеет вид

В силу условий, наложенных на функцию будем иметь

Решения, не тождественно равные нулю, будут получаться только при соблюдении условия , т. е. при , где k может принимать значения

Итак, собственными числами задачи служат числа

Каждому соответствует собственная функция

Как мы уже знаем, умножая любую из собственных функций на произвольную постоянную, будем получать решение уравнения с поставленными краевыми условиями. Легко проверить, что, придавая числу k отрицательные значения, мы не получим новых собственных функций (например, при будет получаться функция, отличающаяся от собственной функции ) только знаком),

Докажем прежде всего, что собственные функции (5.11) ортогональны в интервале . Действительно, при

Если же , то

Доказать ортогональность собственных функций ожно и иначе, не опираясь на их явные выражения, а пользуясь только дифференциальным уравнением и краевыми усювиями. Пусть и — два различных собственных числа, и — соответствующие им собственные функции. По определению эти функции удовлетворяют уравнениям

и краевым условиям. Умножим первое из уравнений на второе на и вычтем одно из другого:

Интегрируя это равенство в пределах от и замечая, что получим, что

Первое слагаемое обращается в нуль при любой из следующих комбинаций начальных условий: (задача о колебаниях струны), (колебания стержня со свободным концом), (колебания стержня, У которого оба конца свободны). Следовательно, во всех случаях

так как по условию . Приведенное здесь рассуждение будет неоднократно встречаться в дальнейшем.

При общее решение уравнения имеет вид

Поэтому частным решением соответствующим собственному числу будет функция

Для окончательного решения задачи составляем ряд и

В силу начальных условий (5.8)

Чтобы найти коэффициенты заметим, что написанные равенства представляют разложения функций в ряды по ортогональной системе функций (см. [1], п. 205). Предполагая такое разложение возможным, легко находим коэффициенты умножая обе части разложения на и интегрируя в пределах от 0 до l.

Так как интеграл от квадрата любой собственной функции равен , то

Подставляя в ряд (5.14) найденные значения пслучим искомое решение.