§ 14. Теплопроводность в конечном стержне

41. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье.

Задача линейной теплопроводносги в конечном оержпе отличается от задачи для бесконечного стержня, рассмотренной в предыдущем параграфе, тем, что необходимо учитывать краевые условия на торцевых сечениях (концах) стержня. Как мы увидим, наличие краевых условий вносит весьма существенные изменения в . Фурье по сравнению с задачей без краевых условий,

Предположим, что длина стержня равна l. Начало координат на оси выберем в левом конце стержня; тогда его торцевые сечения будут

Температура должна удовлетворять (при условии теплоизоляции боковой поверхности) для уравнению (13.1):

Начальное условие имеет прежний вид (13.2):

но только теперь функция (начальное распределение температуры) должна быть задана лишь на интервале Общие краевые условия на торцах стержня были установлены в п. 35 (формулы (12.10)). Если температурные условия на концах стержня различны, то

Напомним, что k — коэффициент теплопроводности стержня, — коэффициенты теплообмена на торцах стержня, — заданные температуры концов стержня.

Метод Фурье, с помощью которого мы предполагаем решить задачу, в случае краевых условий (14.1) непосредственно неприменим, так как они неоднородны, если или : решение им не удовлетворяет. значит, что сумма двух решений каждое из которых в отдельности удовлетворяет условим (14.1), этим условиям уже не удовлетворяет; точно так же не удовлетворяет этим условиям произведение любого решения на постоянную величину (читатель легко убедиюя в этом самостоятельно). Поэтому, прежде чем применять метод Фурье, мы должны свести задачу к такой, в которой краевые условия однородны. Мы это сделаем в предположении, что температуры внешних сред постоянны.

Для этого введем новую искомую функцию связанную с формулой

где — некоторые постоянные коэффициенты, которые мы будем пытаться подобрать так, чтрбы для функции получились однородные краевые условия.

Так как то условия (14.1) перепишутся в виде

Требование однородности этих условий состоит в выполнении равенств

Система уравнений (14.3) относительно имеет единственное решение, поскольку определитель этой системы не равен нулю:

так как — положительные числа. Найдя из уравнений (14,3) получим для краевые условия в виде

которые уже являются однородными.

С другой стороны, в качестве начального условия для функции w мы получаем

(14.5)

где как и — функция, заданная на интервале Наконец, уравнение, которому должна удовлетворять функция , не отличается от исходного уравнения (13.1), так как

Таким образом, мы приходим теперь к следующей задаче: найти функцию удовлетворяющую для и и всех уравнению

начальному условию (14.5) и краевым условиям (14.4). Эта задача уже решается методом Фурье, так как краевые условия однородны (им удовлетворяет изменение ).

Первая часть метода Фурье — разделение переменных — применяется без каких бы то ни было изменений, и мы найдем, как в предыдущем параграфе, частные решения вида (13.8):

(где вместо t подставлено ). Но если в случае бесконечного стержня оставалось совершенно произвольным, то наличие краевых условий, как мы сейчас увидим, накладывает на определенные требования. Действительно, подставляя функцию из (14.7) в условия (14.4) и сокращая на мы найдем, что для первого множителя в правой части (14.7):

должны выполняться равенства

Заменяя значения функций их выражениями, получим

откуда, с одной стороны,

а с другой стороны,

Таким образом должно удовлетворять уравнению

или

Прежде чем рассматривать решение в общем случае, займемся наиболее важными частными задачами.