§ 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне

45. Распространение тепла при теплоизоляции или постоянстве температуры конца стержня.

Стержень, ограниченный только с одной стороны, а в другую сторону простирающийся в бесконечность, называется полу бесконечным. Будем по-прежнему считать, что боковая поверхность стержня теплоизолирована и что его единственный — левый — конец расположен при . Тогда мы имеем только одно краевое условие, относящееся к общем виде оно записываем гак:

(первое равенство (14.1)). Начальное условие имеет прежний вид

где начальное распределение температуры должно быть задано лишь на полуоси

Задача теплопроводности в полубесконечном стержне легко решается при помощи формул § 13 в случаях (теплоизоляция на конце) и (постоянная температура на конце).

Действительно, если мы сначала рассмотрим случай теплоизолированного конца:

и продолжим на отрицательную полуось четным образом: , то функция (13.17):

будет являться решением нашей задачи. Как мы знаем, она является решением линейного уравнения теплопроводности (13.1) и удовлетворяет начальному условию (15.2). Чтобы проверив, что она удовлетворяет и краевому условию (15.1), образуем

и

Последний интеграл равен нулю, так как по построению — четная функция, следовательно, нечетна и вся подынтегральная функция нечетна. Таким образом, условие выполняется.

Решение задачи (15.3) может быть в этом случае несколько преобразовано. Используя четность получим

где в первом интеграле заменено ; таким образом, при краевом условии (15.10 решением будет

Перейдем к случаю, когда конец поддерживается при постоянной температуре

(Решение для случая, когда есть функция времени t, приведено в п. 52.) Сначала сведем краевое условие к однородному, полагая

и продолжим на отрицательную полуось нечетным образом Тогда функция

удовлетворяет уравнению начальному условию и краевому условию Последнее вытекает из того, что

поскольку — нечетная функция. Следовательно,

Преобразуем эту формулу, привлекая интеграл вероятностей (см. пример 1 § 13). Для этого, гкшная заметим, что

а полагая что

вследствие чего

Поэтому окончательно мы получим решение задачи в случае краевого условия (15.1") в виде

Решение задачи теплопроводное! и в полубесконечном стержне при общем краевом условии (15.1) представляет значительно большие трудности и требует иных средств 1).