ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ

§ 12. Уравнение линейной теплопроводности

34. Вывод уравнения линейной теплопроводности.

Рассмотрим металлический стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована. Теплоизолированность боковой поверхности стержня означает, что через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой 1). Если этот стержень в начальном состоянии неравномерно нагрет, то благодаря теплопроводности в нем будет происходить передача тепла от более нагретых частей к менее нагретым. В простейшем случае, когда притока тепла извне нет и концы стержня тоже теплоизолированы, температура точек стержня с течением времени будет, изменяясь, выравниваться и в конечном итоге станет постоянной во всем стержне.

Рис. 43.

Если возможен теплообмен с окружающей средой через концы стержня (торцевые сечения) или в некоторых участках стержня выделяется тепло, то распределение температуры будет соответственно усложняться.

В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня (рис. 43) будет одной и той же.

Если принять ось стержня за ось абсцисс, то температура и будет являться функцией координаты х и времени t. При постоянном t функция и представляет зависимость температуры точек стержня в данный момент времени от их расстояния до начала координат; частная производная выражает при этом скорость изменения температуры в направлении оси . Если зафиксировать абсциссу то выражает закон изменения температуры в данном сечении стержня с течением времени.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках:

1. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на равно

где V — объем тела, — его плотность, с — удельная теплоемкость.

2. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени М (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени М, т. е. равно

где - площадь поперечного сечения, k — коэффициент теплопроводности.

Знак минус в формуле (12.2) объясняется тем, что величину теплового потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания . Если то это значит, что с возрастанием х температура повышается, а так как тепло переходит от более нагретых участков к менее нагретым, то тепловой поток будет направлен в сторону уменьшения х, т. е. его величина будет отрицательной. Мы будем считать коэффициент теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах.

Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различных материалов весьма сложны и во многом опираются на развиваемую дальше математическую теорию теплопроводности.

Выделим участок стержня, ограниченный поперечными сечениями с абсциссами и составим для него уравнение теплового баланса. По формуле (12.2) количество тепла, входящее через поперечное сечение с абсциссой за промежуток времени равно . Если отбросить бесконечно малые величины высших порядков, то значение частной производной по в точке

Поэтому величина теплового потока, выходящего через сечение равна Взяв разность величин входящего и выходящего тепловых потоков, мы получим количество тепла , сообщенное выбранному участку стержня за время :

С другой стороны, за этот же промежуток времени температура изменилась на величину (опять-таки с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Поэтому по формуле (12.1) сообщенное количество тепла равно

(объем V равен ).

Приравнивая полученные выражения для AQ и сокращал на общий множитель составим уравнение

Введя обозначение окончательно получим основное уравнение теплопроводности для однородного стержня без тепловых источников:

Постоянную называют коэффициентом температуропроводности. Уравнение (12.4) является однородным и линейным.

Предположим теперь дополнительно, что в некоторых участках стержня может возникать или поглощаться тепло. Как говорят, внутри стержня имеются тепловые источники. Выделение (или поглощение) тепла очень удобно характеризовать с помощью плотности тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают функцию такую, на малом участке стержня за малый промежуток времени выделяется количество тепла, равное (с гочноаью до бесконечно малых высшего порядка)

(Если , то тепло не выделяется, а поглощается.)

Например, при пропускании через стержень постоянного электрического тока в нем будет выделяться тепло, причем в этом случае , где - ток, a R — сопротивление единицы длины стержня.

При составлении уравнения теплового баланса (12.3) надо учесть тепло, возникающее в рассматриваемом участке стержня. Для этого прибавим к правой части уравнения (12.3) величину, определяемую формулой (12.5) и разделенную на Получим:

Разделив обе части равенства на и введя обозначение придем к уравнению

Уравнение (12.6), полученное в предположении, что внутри стержня имеются тепловые источники, в отличие от уравнения (12.4) является неоднородным.

Разумеется, полученные уравнения теплопроводности выведены при условии некоторой идеализации процесса.