§ 11. Колебания круглой мембраны

32. Круглая мембрана.

В § 9 методом Фурье была решена задача о колебаниях прямоугольной мембраны. Сейчас мы покажем, как, пользуясь результатами предыдущего параграфа, можно тем же методом решить задачу о колебаниях круглой мембраны.

Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты . Уравнение границы круга будет при этом Отклонение точек мембраны и является теперь функцией полярных координат и времени

Воспользуемся результатами п. 3 введения, где было показано, что выражение для оператора Лапласа Ди в полярных координатах имеет вид

Тогда уравнение колебаний мембраны перепишется следующим образом

Краевое условие в полярных координатах записывается особенно просто:

Начальные условия имеют вид

Мы будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т. е. предполагать, что начальные функции не зависят от угла . Это значит, что величины начальных отклсгнений и скоростей зависят только от расстояния точки мембраны до ее центра. Иначе говоря, все точки окружности, концентрической с границей круга, в начальный момент имеют одни и те же скорости и отклонения. Тогда ясно, что и в любой моменг времени величина отклонения не будет зависеть от полярного угла и будет являться функцией только . Это значит, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет поверхностью вращения.

При этом упрощающем предположении задача сводится к уравнению

С начальными условиями

и краевым условием

Как обычно в методе Фурье, полагаем

и отыскиваем частные решения, удовлетворяющие краевому условию (11.6). Подставляя (11.7) в краевое условие, найдем, что .

Дифференцируя функцию (11.7), подставляя в уравнение (11.4) и разделяя переменные, получим

Постоянная выбрана в виде из тех же соображений, что и раньше. Доказательство того, что функция при ином выборе постоянной не может удовлетворять условию мы не приводим.

Впрочем, физически ясно, что процесс носит колебательный характер, а уравнение для только тогда имеет решения в виде тригонометрических функций, когда в правой части (11.8) стоит отрицательная величина. Равенства (11.8) приводятся к двум уравнениям:

(11.10)

Уравнение (11.10) совпадает с уравнением (10.10), изученным в § 10. Одним из его частных решений является функция Второе частное решение — функцию — мы брать не будем потому, что в центре мембраны (при оно обращается в бесконечность. В то же время ясно, что прогиб мембраны всегда есть величина конечная.

Поскольку произвольные постоянные войдут в общее решение уравнения (11.9), решение уравнения (11.10) просто берем в виде

Подстановка краевого условия (11.6) приводит к уравнению, определяющему собственные числа задачи:

Таким образом, собственными числами задачи являются величины

где — корни функции Бесселя . После того как собственные числа найдены, решаем уравнение (11.9). Получим

Собственные функции таковы:

(11.12)

Как видим, в выражение для собственных функций, в отличие от всех предыдущих задач, входя не только тригонометрические функции, но и функции Бесселя.

Составляем теперь сумму собственных функций

(11.13)

и подбираем коэффициенты так, чтобы выполнялись начальные условия

(Мы заменили собственные числа их значениями.) Введем новую переменную, положив (это равносильно тому, что мы выбрали масштаб, при котором радиус круга R равен единице; конечно, не является декартовой координатой точек мембраны). Тогда написанные ряды примут вид

Последние же равенства означают, что мы раскладываем функции в ряды по функциям которые, как мы показали в § 10, удовлетворяют в интервале почти обычным условиям ортогональности. Предполагая, что разложения (11. 14) и (11. 15) имеют место и допускают почленное интегрирование, находим все неопределенные коэффициенты, воспользовавшись условиями ортогональности (10.11). Для этого умножим обе части каждого разложения на и интегрируем в пределах от 0 до 1; тогда слева останется только по одному слагаемому:

Воспользовавшись равенством (см. формулу (10.16)), окончательно получим (индекс и мы заменили на ):

Подставляя коэффициенты и в ряд (11.13), мы и завершаем решение задачи.