12. Теорема Хелли.

Мы рассмотрим теперь теорему о предельном переходе для того случая, когда изменяется интегрирующая функция Предварительно исследуем вопрос о стремлении функции ограниченной вариации к предельной функции. Пусть последовательность функций ограниченной вариации на промежутке причем вариации всех этих функций ограничены одним и тем же числом L, не зависящим от

Положим, что в каждой точке промежутка стремятся к предельной функции имеющей конечные значения. Нетрудно видеть, что и функция будет функцией ограниченной вариации. Действительно, суммы 4 Для Функций имеют оценку:

откуда, переходя к пределу, получаем такую же оценку для сумм функции

откуда и следует, что вариация также не больше L. Если функции сходятся к функции не во всех точках промежутка но лишь на плотном в множестве точек то уже нельзя утверждать, что функция функция ограниченной вариации. В дальнейшем в указанном случае мы будем предполагать, что функция есть функция ограниченной вариации. Отметим, что множество точек называется плотным в если любая часть промежутка содержит бесчисленное множество точек из Положим, что есть последовательность возрастающих функций и что эта последовательность в каждой точке стремится к предельной функции имеющей конечные значения. При этом предельная функция будет также возрастающей, а следовательно, будет и функцией ограниченной вариации. Докажем следующую теорему:

Теорема 1. Если функции возрастающие на промежутке стремятся к функции на плотном в множестве точек, то сходимость имеет место в каждой точке непрерывности лежащей внутри

Пусть точка непрерывности точки из множества лежащие слева и справа от Мы имеем и» следовательно,

Это неравенство мы можем переписать следующим образом:

Пусть заданное положительное число. Точки и из множества g, повсюду плотного в мы можем взять настолько близкими к что , ибо есть точка непрерывности . Фиксируя таким образом будем для всех достаточно больших значений иметь неравенства так как в точках функции стремятся к Приведенные неравенства, а также неравенство (68) дарт нам непосредственно следующее неравенство:

откуда, ввиду произвольности , и следует, что Формулируем теперь основную теорему о предельном переходе.

Теорема 2 (Хелли). Пусть непрерывна на ограниченной вариации, причем вариации не больше некоторого числа L, не зависящего от всех точках . При этом справедлива формула

Как мы указали выше, функция есть функция ограниченной вариации, а следовательно, интегрируема по . Разобьем промежуток на частичные промежутки и напишем очевидную формулу

т. е.

Пусть — заданное положительное число. Можно фиксировать настолько мелкое разбиение на части, чтобы для разности при любом к имела место оценка Это следует непосредственно из равномерной непрерывности При этом получим

откуда

т. е.

Формулу (70) можем для фиксированного выше разбиения записать в виде

где . Путем совершенно таких же рассуждений получим формулу

где . Вычитая почленно, будем иметь

Точки фиксированы, и, в силу сходимости в этих точках для всех достаточно больших значений сумма, входящая в последнюю формулу, будет по абсолютной величине меньше . Таким образом, из последней формулы для таких значений вытекает оценка

и отсюда, в силу произвольности , следует (69).

Замечание. Положим, что стремятся к не везде на но лишь на плотном в множестве точек и в том числе на обоих концах промежутка, причем предполагается, что предельная функция есть функция

ограниченной вариации. При этом, если за точки деления будем брать точки, принадлежащие к множеству точек, на которых то предыдущее доказательство сохранит свою силу, и мы по-прежнему придем к формуле (69). Укажем теперь обобщения доказанной теоремы, аналогичные тем обобщениям, которые мы приводили в [11].

Теорема 3. Положим, что непрерывна внутри промежутка и ограничена, возрастающие функции на непрерывные на концах этого промежутка, и на плотном множестве точек промежутка и, в частности, на обоих концах этого промежутка. При этом имеет место формула

Отметим, что в данном случае полная вариация выражается разностью и из условий теоремы непосредственно вытекает, что все эти полные вариации не больше некоторого L, не зависящего от . Интегралы от по и по существуют. Оценим разность этих интегралов, разбивая промежуток интегрирования на три части: где точки а и b принадлежат тому множеству, на котором

Функция ограничена, т. е. Для первой из разностей мы имеем оценку

которую можем записать в виде

В силу непрерывности при мы можем фиксировать а настолько близким к чтобы положительная разность была меньше любого наперед заданного положительного числа. Зафиксировав таким образом , заметим далее, что разности также будут сколь угодно малыми по абсолютной величине при всех достаточно больших значениях n. Совершенно аналогичным образом можно разобрать и третье слагаемое правой части формулы (72). Таким образом, для любого заданного положительного можно фиксировать такие значения а и b из упомянутого выше множества, повсюду плотного в ,

что первое и третье слагаемые правой части формулы (72) будут меньше при всех достаточно больших значениях . К конечному промежутку применима доказанная выше теорема, т. е. и второе слагаемое правой части (72) будет меньше при всех достаточно больших значениях n. Таким образом, левая часть неравенства (72) будет меньше при всех достаточно больших значениях откуда, ввиду произвольности , и следует формула (71).

Перейдем теперь ко второму обобщению теоремы 2, которое касается несобственных интегралов Стилтьеса.

Теорема 4. Положим, что непрерывна внутри промежутка ограниченной вариации на этом промежутке, причем вариации не превышают некоторого числа, не зависящего от n. Пусть далее на множестве, плотном в и несобственные интегралы

сходятся равномерно относительно n. При этом интегрируема по на и имеет место формула [71].

Пусть е — заданное положительное число. Существует такое положительное А, что для любого промежутка лежащего вне имеет место оценка

Фиксируем любой такой промежуток и пишем очевидное неравенство

В силу замечания к теореме 2 можно взять настолько большое чтобы второе слагаемое правой части было меньше . При этом из (73) будет непосредственно следовать, что

Это неравенство, ввиду произвольности , и доказывает существование интеграла от по на . Формула (71) доказывается совершенно аналогично тому, что мы делали выше при помощи подразделения промежутка на три части.