§ 20. Подобие фигур

77. Преобразование подобия.

Определение преобразования подобия одинаково и на плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки фигуры то где

Число называется коэффициентом подобия При преобразование подобия является движением.

Т.5.5. Гомотетия есть преобразование подобия.

Рассмотрим свойства преобразования подобия.

1. При преобразовании подобия три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка лежит между точками

2. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки, плоскости в плоскости.

3. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

4. Не всякое преобразование подобия является гомотетией.

На рисунке 226 фигура получена из фигуры F гомотетией, а фигура получена из фигуры симметрией относительно прямой Преобразование фигуры F в есть преобразование подобия, так как при нем сохраняются отношения расстояний между соответствующими точками, однако это преобразование не является гомотетией.

Для гомотетии в пространстве верна теорема:

Т,5.6. Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость или в себя.

На рисунке 227 изображены два гомотетичных куба с коэффициентом гомотетии, равным 2. По Т.5.6 плоскость переходит в параллельную ей плоскость Это же можно сказать и о плоскостях других граней куба.