Настоящая книга представляет собой введение в круг основных понятий и проблем, составляющих предмет изучения новой специальной дисциплины — нелинейной динамики. Знакомство с нелинейной динамикой предполагает определенные знания общих курсов физики и математики по программе высших учебных заведений. Поэтому книга в первую очередь ориентирована на студентов естественных специальностей университетов, изучающих основы теории колебаний, теории динамических систем, теорию устойчивости и бифуркаций, основы информатики и математического моделирования. Перечисленные дисциплины включены в качестве разделов в более общую теорию самоорганизации или синергетику. В связи с привлечением и использованием идей синергетики в различных областях как естественных, экономических, так и гуманитарных наук, книга будет полезна студентам, изучающим биологию, химию, экономику, экологию, социологию, менеджмент и другие дисциплины. Это обусловлено фундаментально общими закономерностями, с которыми приходится иметь дело при математическом моделировании соответствующих систем и процессов в указанных областях знаний.

Перед студентами высшей школы на третьем курсе неизбежно возникает важная проблема выбора конкретной специализации в рамках общей специальности. От того, какое именно научное направление специализации предпочтет и посвятит ему оставшиеся два-три года учебы в вузе студент, зависит очень многое. Нередко принятое молодым человеком решение определяет всю его дальнейшую судьбу, делает его счастливым или неудовлетворенным в профессиональной жизни. Поэтому к принятию решения о выборе научной специализации необходимо подходить ответственно. Настоящая книга как учебное пособие по нелинейной динамике поможет студентам более осознанно остановить свой выбор на специализации в этой области.

Несколько слов об истории создания этой книги. Она включает десять лекций, которые были написаны в период 1995-2000 гг. для \»Соросовского образовательного журнала\» в соответствии с требованиями программы \»Соросовские профессора\». Лекции я читал школьным учителям на конференциях соросовских учителей, абитуриентам и студентам физического факультета СГУ. Получилось так, что лекции выстроены в некий взаимосвязанный цикл, являющийся введением в основные проблемы нелинейной динамики. И я решил их опубликовать без каких-либо изменений и дополнений. Хочу поблагодарить руководство программы \»Соросовские профессора\» за разрешение на публикацию лекций, так как авторские права на их использование принадлежат Международному Фонду Дж. Сороса.

Очень кратко о содержании лекций. Нелинейная динамика — это наука, изучающая структуру и свойства эволюционных процессов в нелинейных динамических системах. Особенностью, присущей исключительно нелинейным системам, является возможность реализации в них множества различных режимов функционирования, которые зависят от начального состояния, параметров системы и внешних воздействий. В частности, в нелинейных системах возможны режимы детерминированного хаоса в виде незатухающих апериодических колебаний, напоминающих случайный процесс. Интерес к изучению свойств нелинейных систем главным образом обусловлен тем, что реальный мир, окружающая нас природа и общество в своем существовании и развитии подчиняются нелинейным законам. Линейные закономерности также имеют место, однако они представляют собой лишь частный случай (или приближение) более общих нелинейных законов.

Первая лекция посвящена динамическим системам. Понятие динамической системы в математическом смысле слова является основой моделирования, а значит, и предсказания эволюции состояния во времени. Задача предсказания будущего по известному настоящему является основной задачей науки вообще и нелинейной динамики в частности. Одним из замечательных свойств нелинейных систем является смена режимов их функционирования при изменении управляющих параметров. Системы демонстрируют бифуркации и катастрофы. Один режим теряет устойчивость, гибнет, ему на смену приходит другой и т.д. На языке математики описание этих свойств динамических систем дается теорией устойчивости и бифуркаций, описываемой во второй лекции. В нелинейных динамических системах, как было установлено сравнительно недавно, возможны режимы колебаний, близкие по характеристикам к случайным процессам. Описанию фундаментального явления

детерминированного хаоса посвящена третья лекция. В четвертой и пятой лекциях обсуждается важное понятие аттрактора нелинейной диссипативной динамической системы как математического образа установившегося режима ее функционирования. Если периодическим автоколебаниям в классической теории отвечает математический образ в виде предельного цикла Пуанкаре, то общее понятие аттрактора служит образом любого режима установившихся колебаний. Структура и свойства аттрактора определяют соответствующие свойства автоколебательных процессов нелинейной динамической системы. В шестой лекции последовательно выводятся уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью, который вот уже более 20 лет служит одной из базовых моделей хаоса в автономных системах. Уравнения генератора базируются на классических моделях Ван дер Поля и K. Теодорчика, являются физически обоснованными, что позволяет использовать эту систему не только в численных, но в радиофизических экспериментах. Седьмая лекция посвящена описанию одного
из фундаментально важных нелинейных эффектов — синхронизации колебаний. Показано, что принципиальные свойства феномена синхронизации в равной степени демонстрируют простейший физический генератор и сложнейшая в природе сердечно-сосудистая система организма человека. Одним из замечательных свойств нелинейных систем является их возможность улучшать характеристики или демонстрировать принципиально новые качества при воздействии шума. Восьмая лекция иллюстрирует ряд интересных свойств нелинейных систем, индуцированных внешним шумовым воздействием на систему. Рассмотрены явления стохастического резонанса и стохастической синхронизации. Изучение сложных колебательных процессов в нелинейных системах, включая режимы детерминированного хаоса, потребовало от исследователей введения совокупности новых характеристик как динамических, так и статистических для их описания и классификации. Учитывая, что реальные колебательные процессы в живых системах далеки от регулярных, естественно было применить накопленный опыт анализа
характеристик хаотических колебаний для диагностики сигналов медико-биологической природы. Этому кругу вопросов посвящена девятая лекция. И, наконец, в десятой лекции обсуждается проблема реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. Предлагаются новые современные методы решения классической задачи восстановления модельной динамической системы по одномерной реализации процесса во времени.

Учитывая реальные сложности в обеспечении научных библиотек современной специальной литературой, в книге приводятся ссылки

на минимальное число статей и книг, которые имеются в библиотеках. Заинтересованному читателю можно порекомендовать монографию В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасовой, В. В. Астахова \»Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем\» (Изд-во Сарат. ун-та, 1999 г.). В указанной монографии каждой из лекций настоящей книги соответствует подробная глава с достаточно полной библиографией.

В заключение хочу отметить, что материалы лекций, представленных в учебном пособии, базируются не только на достижениях мировой науки в этой области, но и вк.эючают результаты оригинальных исследований лаборатории нелинейной динамики СГУ за последние пятнадцать лет. Всем сотрудникам лаборатории я хотел бы выразить искреннюю благодарность. Особо хочу поблагодарить А.В. Климшина и Г.И.Стрелкову за большой труд по подготовке рукописи к печати.

Профессор В.С.Анищенко