Несмотря на многолетнюю историю существования и развития классической теории устойчивости и бифуркаций, наступил момент (как это часто бывает), когда к этой теории было вдруг привлечено всеобщее внимание. Причиной тому послужили популярно изложенные версии работ французского математика Рене Тома по так называемой теории катастроф. Теория катастроф в начале семидесятых годов стала модной, понятной (как им казалось!) для неспециалистов и универсальностью своих претензий стала напоминать псевдонаучные теории прошлых времен. В чем же суть дела? Появление теории катастроф Р. Тома специалистами было воспринято нормально. Ряд результатов этой теории заслуживает самого глубокого уважения. Но \”философского\” открытия здесь нет. Поясним, почему.

Суть дела заключается в том, что речь идет все о тех же бифуркациях, но при этом выбирается один из типов – так называемые жесткие бифуркации. Для пояснения рассмотрим два простых примера. В первом случае (см. рис. 2.2) в результате бифуркации исходное стационарное состояние теряет устойчивость и рождаются два новых устойчивых стационарных состояния. При этом вновь появившиеся два стационарных состояния (рис. $2.2, \theta$ ) расположены в непосредственной близости от исходного состояния, которое потеряло устойчивость (помечено звездочкой). Бифуркации такого типа называют мягкими, имея в виду то, что вновь родившийся режим функционирования системы как бы появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 2.2. Пример мягкой бифуркации. Стационарное состояние (a) теряет устойчивость (б) и вблизи него появляются два новых устойчивых стационарных состояния (в).

Другой пример бифуркации качественно представлен на рис. 2.3. При $\mu<\mu^{*}$ (рис. 2.3,a) шарик находится в устойчивом стационарном состоянии. При этом существует еще одно, неустойчивое состояние (помечено звездочкой). В точке бифуркации $\mu=\mu^{*}$ устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно (рис. 2.3,б). Далее они исчезают и система выбирает новый режим (например, как это показано на рис. $2.3,8$ ), который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Такой тип бифуркаций называют жестким и именно жесткие бифуркации явились предметом анализа в теории катастроф.

Рассмотренный выше пример бифуркации \”двукратное равновесие\” в системе (2.8) представляет собой типичный пример жесткой бифуркации, который качественно проиллюстрирован на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Жесткая потеря устойчивости стационарным состоянием, катастрофа. Качественная иллюстрация бифуркации \”двукратное равновесие\” (рис. 2.1).