Рассмотрим структуру и свойства квазиаттрактора известной модели Хенона:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=1-a x_{n}^{2}+y_{n}, \\
y_{n+1}=b x_{n} .
\end{array}
\]

При $0<b<1$ отображение (5.1) является диссипативным и характеризуется наличием квазиаттрактора. Отображение (5.1) взаимно однозначно, то есть является диффеоморфизмом. Отображение Хенона отличается от отображения Лози тем, что в качестве нелинейности включает гладкую квадратичную функцию.

Рассмотрим фазовые портреты притягивающих множеств системы (5.1) вместе с бассейнами притяжения и их эволюцию при вариации параметра $a$ для $b=0.3$. Рис. 5.1, $a$ иллюстрирует режим сосуществования двух хаотических притягивающих подмножеств на фазовой плоскости. Видна сложная структура вложенньх бассейнов их притяжения. Если менять начальные условия, то наблюдается резкое чередование двух режимов. На рис. 5.2, $a$ представлены результаты расчета старшего показателя Ляпунова для $a=1.078$ в зависимости от изменения начального значения координаты $x$ при фиксированном $y$. Максимальный показатель $\lambda_{1}$ случайным образом \”скачет\”между значениями $\lambda_{1}=0.126$ и $\lambda_{1}=0.062$, свидетельствуя о переходах системы с одного хаотического аттрактора на другой. Если сравнить эти результаты с видом структуры бассейнов притяжения (рис. 5.1,a), то становится понятным, почему это происходит. Изменение начальных условий приводит к пересечению границ соответствующих бассейнов притяжения.

Рис. 5.1. Аттракторы, реализующиеся в системе Хенона, и структура бассейнов их притяжения в фазовом пространстве $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ при $b=0.3$ для $a=1.078$ ( $a$ ) и для $a=1.32$ (б).

Рис. 5.2. Зависимость старшего ляпуновского показателя системы Хенона от начальных значений координаты $x$ при $y=0.5$ и $b=0.3$ для $a=1.078$ (a) и от параметра $a$ при $b=0.3$ (б).

Бассейн аттрактора для $a=1.32$ (рис. 5.1,б) выглядит однородным, что должно свидетельствовать о наличии лишь одного аттрактора. Однако известно, что в системе сосуществуют устойчивые циклы больших периодов с очень узкими бассейнами притяжения, которые в численном счете не регистрируются.

Если менять управляющий параметр $a$ в области квазиаттрактора $1.1<a<1.4$, то наблюдается чередующаяся картина смены регулярных и хаотических аттракторов. Результаты расчетов старшего ляпу-

новского показателя $\lambda_{1}$ в зависимости от $a$ представлены на рис. $5.2,6$ : зависимость $\lambda_{1}(a)$ характеризуется наличием как положительных, так и отрицательных значений $\lambda_{1}$, что свидетельствует о нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в системе при вариации параметра.

В хаотических аттракторах модели Хенона отмечаются и другие характерные особенности: спектры мощности в зависимости от тактности лент хаотических аттракторов имеют $\delta$-выбросы на кратных частотах, а АКФ может вообще не спадать до нуля в случае, если тактность ленты равна 2 и больше.

В аттракторе Хенона нарушается условие трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов на счетном множестве значений параметров, при которых имеет место касание многообразий. На рис. 5.3 представлены расчеты устойчивых и неустойчивых сепаратрис седловой точки. В некоторых точках устойчивая $W^{s}$ и неустойчивая $W^{u}$ сепаратрисы касаются друг друга, угол между ними равен нулю. Если проследить за эволюцией угла между многообразиями вдоль хаотической траектории, то
Рис. 5.3. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой точки $q$ отображения Хенона при $a=1.3, b=0.3$. можно рассчитать распределение вероятностей угла $\phi$ между многообразиями $P(\phi)$. Результаты представлены на рис. 5.4, $a$ и свидетельствуют о том, что вероятность обращения значения угла $\phi$ в нуль достоверно отлична от нуля, то есть касание имеет отличную от нуля вероятность.

Если изменять параметр а системы и вычислять вероятность $P^{\delta \phi}$ принятия углом между многообразиями значения вблизи нуля $\left(\delta \phi \leqslant 1^{\circ}\right)$, то получим результаты, представленные на рис. 5.4,б.

Как видно из графика, существует счетное множество значений параметра, при которых вероятность $P^{\delta \phi}$ обрацается в нуль. Эти значения параметра $a$ четко соответствуют наличию периодических аттракторов отображения (ср. с данными рис. 5.2,б). Обращение $P^{\delta \phi}$ в нуль, вообще говоря, может свидетельствовать о реализации режима гипер-

Рис. 5.4. Распределение вероятностей угла $\phi$ между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории аттрактора Хенона для $a=1.179$ при $b=0.3(a)$; зависимость вероятности $P^{\delta \phi}$ попадания угла $\phi$ между многообразиями в малую окрестность нуля $\left(\delta \phi \leqslant 1^{\circ}\right.$ ) от управляющего параметра системы $a$ при $b=0.3$ (б).

болического хаоса, однако в проведенных экспериментах это условие соответствовало реализации режимов регулярных циклов отображения Хенона ${ }^{*}$.

Наконец, обсудим свойство квазиаттрактора, весьма важное в плане анализа и трактовки экспериментальных результатов. Обратимся к рис. 5.1. Структура бассейнов притяжения свидетельствует о высокой чувствительности системы к точности задания начальных условий. Проведем следующий эксперимент. Выберем значение параметра $a=1.078$, при котором в (5.1) сосуществуют 2 хаотических аттрактора. На рис. 5.5, $a$ и б представлены плотности распределения вероятностей $p\left(x_{n}, y_{n}\right)$ для аттракторов. Добавим в уравнения (5.1) аддитивный, близкий к белому, шум интенсивности $D=5 \cdot 10^{-6}$. Воздействие слабого шума индуцирует объединение аттракторов в один (рис. 5.5,8). Результирующий режим не зависит от того, какой из аттракторов был выбран первоначально путем задания соответствующих начальных данных.

Отметим, что при $b \rightarrow 0$ модель Хенона (5.1) переходит в известную одномерную модель логистического отображения:
\[
x_{n+1}=1-a x_{n}^{2} .
\]

Отображение (5.2) необратимо и диффеоморфизмом не является. Тем

не менее, свойства аттракторов модели (5.2) качественно будут повторять все вышеперечисленные свойства отображения Хенона.

Рис. 5.5. Плотности распределения вероятностей $p(x, y)$ на хаотических аттракторах, сосуществующих в системе Хенона при $a=1.08$, в отсутствие шума ( $a, \sigma$ ); эффект воздействия шума интенсивности $D=5 \cdot 10^{-6}$ на приведенные распределения вероятностей (в).