Автономные системы с трехмерным фазовым пространством демонстрируют довольно ясную картину хаотической динамики маломерных систем. Введем наиболее общие уравнения таких систем, исходя из результатов, полученных применительно к генераторам с 1 степенью свободы, фазовое пространство которых плоскость. В общем виде автоколебательные системы на плоскости описываются уравнением
\[
\ddot{x}+\varphi(x, \vec{\mu}) \dot{x}+\Psi(x, \vec{\mu})=0,
\]

где $x$ – динамическая переменная; $\vec{\mu}=\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{k}\right)-$ совокупность управляющих параметров; $\varphi(x, \vec{\mu})$ и $\Psi(x, \vec{\mu})$ – нелинейные функции, характеризующие действие сил, обеспечивающих возможность автоколебаний.

Уравнение (6.1) можно обобщить на определенный класс систем с 1.5 степенями свободы. Рассмотрим радиотехническое устройство, блок схема которого изображена на рис. 6.1. Пунктирной линией выделена основная часть генератора, состоящая из усилителя 1 , селективного элемента (например, колебательного контура или моста Вина) и цепи положительной обратной связи. При выполнении соответствующих амплитудных и фазовых условий в таком генераторе возникают автоколебания, описываемые уравнением (6.1).

Дополнительная цепь обратной связи осуществляет инерционное преобразование воздействующей переменной $x(t)$ в отклик $z(t)$, управляющий параметрами усилителя и селективного элемента основного блока генератора. С учетом дополнительной обратной связи уравнение

системы, представленной на рис. 6.1, можно записать как
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+F_{1}(x, z, \vec{\mu}) \dot{x}+F_{2}(x, z, \vec{\mu})=0, \\
\dot{z}=F_{3}(x, z, \vec{\mu}) .
\end{array}
\]

Здесь $F_{i}$ – в общем случае нелинейные функции. Фазовая переменная $z(t)$ в (6.2) связана с переменной $x(t)$ посредством дифференциального оператора первого порядка. Если взаимосвязь отклика $z(t)$ на воздействие $x(t)$ безынерционна, т.е. описывается алгебраическим полиномом типа
\[
z=\sum_{n=0}^{k} C_{n} x^{n}=\varphi(x),
\]

то уравнения (6.2) сводятся к уравнению (6.1). Если же переменная $z$ зависит от $x$ инерционным образом, т.е. задается дифференциальным уравнением 1 -го порядка, то уравнения (6.2) описывают процессы колебаний в трехмерном фазовом пространстве и являются обобщением уравнения (6.1) на этот случай.

Известные динамические системы, моделирующие колебания в генераторах с 1.5 степенями свободы, допускают форму записи вида (6.2) с исключением третьей переменной и, при необходимости, с введением гладких замен масштабов координат и времени.

Общая форма записи трехмерных динамических систем в виде (6.2) не вскрывает в деталях принципиальные с физической точки зрения различия конкретных систем, такие как способ возбуждения колебаний, возможность генерирования двухчастотных колебаний, хаотических колебаний и пр. При необходимости можно вводить в рассмотрение некоторые подклассы систем, удовлетворяющих (6.2), но отличающихся по некоторым признакам в связи с конкретными ограничениями на явный вид функций $F_{i}(x, z, \vec{\mu})$ в (6.2). В частности, выделяют два подкласса генерирующих систем, удовлетворяющих в общем виде уравнениям (6.2), но отличающихся механизмами возбуждения колебаний. В первом подклассе возбуждение автоколебаний осуществляется благодаря компенсации собственных потерь при положительной обратной связи. Ко второму подклассу систем относят генераторы, представляющие собой некоторый диссипативный контур, параметрически возбуждаемый за счет инерционного воздействия усиленного сигнала с контура на элементы самого контура.

Однако указанное разделение автоколебательных систем по типу самовозбуждения колебаний с точки зрения общих механизмов перехода к хаосу не является принципиальным. Имея разную физическую основу, автоколебания с ростом управляющего параметра могут претерпевать идентичные каскады бифуркаций.