Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}$ в некоторый момент времени $t=t_{0}$. Величины $x_{i}$ могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин $x_{i}$ и $x_{i}^{\prime}$ отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\dot{x}_{i}=f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right), \quad i=1,2, \ldots, N .
\]

Если рассматривать величины $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}$ как координаты точки $x$ в $N$-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки. Последнюю называют изображающей, а чаще – фазовой точкой, а пространство состояний – фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траектоpuей. В фазовом пространстве системы уравнениями (1.5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке $x$ выходящий из нее вектор скорости $\mathbf{F}(\mathbf{x})$, компоненты которого даются правыми ча-

стями уравнений (1.5):
\[
\left[f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right), f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right), \ldots, f_{N}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right)\right] .
\]

Динамическая система (1.5) может быть записана в векторной форме:
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x}),
\]

где $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ – вектор-функция размерности $N$.
Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаиморасположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо, помимо координат, задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с $n$ степенями свободы характеризуется фазовым пространством размерности в два раза большей $(N=2 n)$.