Хаотические аттракторы, не являющиеся с точки зрения их геометрии странными, известны относительно давно, однако изучены недостаточно. В качестве примера динамической системы с ХНА можно привести модифицированное отображение Арнольда. Это отображение представляет собой известное \”cat map\” с добавлением нелинейного периодического слагаемого:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=x_{n}+y_{n}+\delta \cos 2 \pi y_{n}, \quad \bmod 1, \\
y_{n+1}=x_{n}+2 y_{n}, \quad \bmod 1 . \\
\end{array}
\]

При условии, что $\delta<1 / 2 \pi$, отображение (5.4) есть диффеоморфизм на торе. Другими словами, отображение (5.4) взаимно однозначно (обратимо) и переводит единичный квадрат на плоскости ( $x_{n}, y_{n}$ ) в себя. Отображение (5.4) является диссипативным, то есть при каждой итерации элемент площади сжимается. Это свойство легко доказать, если вычислить якобиан преобразования (5.4):
\[
J=\left|\begin{array}{cc}
1 & 1-2 \pi \delta \sin 2 \pi y_{n} \\
1 & 2
\end{array}\right|
eq 0, \quad \delta<\frac{1}{2 \pi} .
\]

Среднее по времени значение $|J|<1$. При этом сигнатура спектра ляпуновских экспонент представляет собой \” $+{ }^{\prime \prime}$, \”-\”, то есть фиксируется наличие перемешивания.

Казалось бы, мы имеем дело с обычным хаотическим странным аттрактором. Но это не так. Главной отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что, несмотря на сжатие площади, движение изображающей точки отображения (5.4) является эргодическим. Точка при $n \rightarrow \infty$ посещает любой элемент единичного квадрата, представляющего полную развертку двумерного тора! Свидетельством этого факта является то, что метрическая размерность аттрактора (емкость по Колмогорову) равна 2. Плотность точек аттрактора, хотя и неравномерна в единичном квадрате, нигде не обращается в нуль. Таким образом, несмотря на сжатие, аттрактором системы (5.4) является весь единичный квадрат. В этом смысле аттрактор Арнольда не является странным, так как ему нельзя приписать фрактальную геометрию.

Несмотря на то, что точки практически полностью покрывают квадрат (как видно из фазового портрета аттрактора на рис. 5.7), плотность их распределения явно неоднородна! Количественной мерой этой неоднородности является величина информационной размерности $1<D_{I}<2$. Например, для значений $\delta=0.05 D_{I} \simeq 1.96$, для

$\delta=0.10 D_{I} \simeq 1.84$. При этом, как уже говорилось, емкость $D_{C}=2.0$ (это строгий результат Синая). В результате неоднородности плотности распределения вероятностей точек на аттракторе значения всех вероятностно-метрических размерностей аттрактора Арнольда будут лежать в интервале $1<D<2$. Эти размерности учитывают не только геометрические, но и динамические свойства аттрактора.

ХНА обнаружены в ряде других отображений на торе. Можно предположить, что эргодические хаотические движения типичны для диффеоморфизмов на торе. Факт существования XНА в таких отображениях позволяет предполагать, что есть потоковые (дифференциальные) системы в $\mathbf{R}^{N}(N \geqslant 4)$, имеющие режимы XНА. Однако до настоящего времени XНА в дифференциальных динамических системах не обнаружены. В связи с этим, в частности, до сих пор является открытым вопрос о возможности существования хаотического аттрактора на поверхности трехмерного тора, вложенного в фазовое пространство размерности (2)

Рис. 5.7. Хаотический нестранный аттрактор в отображении Арнольда при $\delta=0.15$. $N \geqslant 4$.