Выше мы рассмотрели задачу синхронизации генератора гармонической внешней силой в динамическом описании, не учитывающем воздействие случайных возмущений. В реальных системах всегда присутствует шум в виде естественных флуктуаций, обусловленных наличием диссипации, а также в виде случайных воздействий внешней среды. Необходимо выяснить, какие принципиальные отличия в динамике генератора могут быть вызваны случайными возмущениями; в частности, каково влияние шумов на эффект синхронизации.

Задача о синхронизации генератора типа Ван дер Поля в присутствии шумов впервые была поставлена и решена в работах Р. Л. Стратоновича [17]. Им рассматривалась задача о воздействии шумов на генератор в предположении, что интенсивность шума много меньше квадрата амплитуды гармонического воздействия. Кроме того, предполагалось, что статистические характеристики флуктуаций близки к характеристикам белого шума. В частности, источники шума считались достаточно широкополосными и время корре.яции шума много меньше времени установления стационарных значений амплитуды и фазы колебаний.

Синхронизация генератора Ван дер Поля с учетом шума описывается стохастическим уравнением
\[
\ddot{x}-\varepsilon\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=a \cos \left(\omega_{1} t+\phi_{0}\right)+\sqrt{2 D} \xi(t),
\]

в котором в сравнении с (7.5) добавлена случайная сила – источник белого шума $\xi(t)$ интенсивности $D$. Из (7.10) Р.Л. Стратоновичем были получены стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) для

мгновенной амплитуды и фазы колебаний
\[
\begin{array}{l}
\dot{A}=\frac{\varepsilon A}{2}\left(1-\frac{A^{2}}{4}\right)-\mu \sin \phi+\sqrt{2 D} \xi_{1}(t), \\
\dot{\phi}=\Delta-\frac{\mu}{A} \cos \phi+\frac{\sqrt{2 D}}{A} \xi_{2}(t),
\end{array}
\]

где $\xi_{1,2}(t)$ – некоррелированные источники шума, $D$ – интенсивность шума. Наибольший интерес представляет второе уравнение системы (7.11). Если эффект синхронизации исследуется только с точки зрения режима захвата фазы (и частоты), без учета динамики амплитуды, в этом случае принято говорить о режиме фазовой синхронизации. Второе уравнение (7.11) характеризует передемпфированное броуновское движение разности фаз $\phi$ в одномерном наклоненном периодическом потенциале $U(\phi)=-\Delta \cdot \phi-\frac{\mu}{A} \sin \phi$. Величина расстройки $\Delta$ определяет наклон потенциала, а отношение $\mu / A$ – высоту потенциальных барьеров. В случае $\Delta<\mu / A$ минимумы потенциала $\phi_{k}=\arccos (\Delta \cdot A / \mu)+2 \pi k$ соответствуют синхронизации, так как мгновенная разность фаз остается постоянной во времени. Наличие шума приводит к диффузии разности фаз в потенциале $U(\phi)$ : $\phi(t)$ флуктуирует вблизи минимумов потенциала $\phi_{k}$ и более или менее часто совершает переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь скачком на $2 \pi$.

С физической точки зрения эффективная синхронизация, то есть синхронизация зашумленного автогенератора, проявляется в том, что режим захвата частоты (или фазы) наблюдается не на бесконечных временах, а на ограниченных отрезках времени $t>T_{0}$, где $T_{0}-$ период внешнего периодического сигнала. Воздействие шума приводит к случайному во времени сбою режима синхронизации. Кроме того, бифуркация разрушения синхронизации, которая хорошо видна на графике рис. 7.3 в виде резкого излома кривой 1 на границах области синхронизации, в присутствии шума как бы \”размазывается\”. Кривые 2 и 3 на рис. 7.3 демонстрируют некий плавный переход от режима эффективной синхронизации к ее разрушению с увеличением параметра расстройки.