Выше мы рассмотрели задачу синхронизации генератора гармонической внешней силой в динамическом описании, не учитывающем воздействие случайных возмущений. В реальных системах всегда присутствует шум в виде естественных флуктуаций, обусловленных наличием диссипации, а также в виде случайных воздействий внешней среды. Необходимо выяснить, какие принципиальные отличия в динамике генератора могут быть вызваны случайными возмущениями; в частности, каково влияние шумов на эффект синхронизации.

Задача о синхронизации генератора типа Ван дер Поля в присутствии шумов впервые была поставлена и решена в работах Р. Л. Стратоновича [17]. Им рассматривалась задача о воздействии шумов на генератор в предположении, что интенсивность шума много меньше квадрата амплитуды гармонического воздействия. Кроме того, предполагалось, что статистические характеристики флуктуаций близки к характеристикам белого шума. В частности, источники шума считались достаточно широкополосными и время корре.яции шума много меньше времени установления стационарных значений амплитуды и фазы колебаний.

Синхронизация генератора Ван дер Поля с учетом шума описывается стохастическим уравнением
$$\ddot{x}-\epsilon (1-x^2)\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=a\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_0)+\sqrt{2D}\xi (t),$$

в котором в сравнении с (7.5) добавлена случайная сила — источник белого шума $\xi (t)$ интенсивности $D$. Из (7.10) Р.Л. Стратоновичем были получены стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) для

мгновенной амплитуды и фазы колебаний
$$\begin{array}{l}\dot{A}=\frac{\epsilon A}{2}(1-\frac{A^2}{4})-\mu \sin \varphi +\sqrt{2D}{\xi }_1(t),\\ \dot{\varphi }=\mathrm{\Delta }-\frac{\mu }{A}\cos \varphi +\frac{\sqrt{2D}}{A}{\xi }_2(t),\end{array}$$

где ${\xi }_{1,2}(t)$ — некоррелированные источники шума, $D$ — интенсивность шума. Наибольший интерес представляет второе уравнение системы (7.11). Если эффект синхронизации исследуется только с точки зрения режима захвата фазы (и частоты), без учета динамики амплитуды, в этом случае принято говорить о режиме фазовой синхронизации. Второе уравнение (7.11) характеризует передемпфированное броуновское движение разности фаз $\varphi$ в одномерном наклоненном периодическом потенциале $U(\varphi )=-\mathrm{\Delta }\cdot \varphi -\frac{\mu }{A}\sin \varphi$. Величина расстройки $\mathrm{\Delta }$ определяет наклон потенциала, а отношение $\mu /A$ — высоту потенциальных барьеров. В случае $\mathrm{\Delta }<\mu /A$ минимумы потенциала ${\varphi }_k=\arccos (\mathrm{\Delta }\cdot A/\mu )+2\pi k$ соответствуют синхронизации, так как мгновенная разность фаз остается постоянной во времени. Наличие шума приводит к диффузии разности фаз в потенциале $U(\varphi )$ : $\varphi (t)$ флуктуирует вблизи минимумов потенциала ${\varphi }_k$ и более или менее часто совершает переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь скачком на $2\pi$.

С физической точки зрения эффективная синхронизация, то есть синхронизация зашумленного автогенератора, проявляется в том, что режим захвата частоты (или фазы) наблюдается не на бесконечных временах, а на ограниченных отрезках времени $t>T_0$, где $T_0-$ период внешнего периодического сигнала. Воздействие шума приводит к случайному во времени сбою режима синхронизации. Кроме того, бифуркация разрушения синхронизации, которая хорошо видна на графике рис. 7.3 в виде резкого излома кривой 1 на границах области синхронизации, в присутствии шума как бы \»размазывается\». Кривые 2 и 3 на рис. 7.3 демонстрируют некий плавный переход от режима эффективной синхронизации к ее разрушению с увеличением параметра расстройки.