Предположим, что в результате эксперимента получены значения некоторой физической величины $a$, то есть набор $a_{i}=a(i \Delta t)$, $i=1, \ldots, N$. Будем считать, что временной ряд $a_{i}$ порождается некоторой ДС с непрерывным или дискретным временем, представляя собой дискретизованную с шагом $\Delta t$ одномерную проекцию фазовой траектории. Эта траектория принадлежит аттрактору системы, размерность которого равна $d$. Согласно Такенсу, задать вектор состояния можно по методу (9.2). Размерность пространства вложения $n$ определяется на основании формулы Манэ (9.4), то есть требует предварительного вычисления величины $d$. На практике значение $n$, определяемое формулой (9.4), часто оказывается завышенным, и можно ограничиться пространством меньшей размерности $\left(n<d^{d}\right)$.

Вначале необходимо определить размерность аттрактора $d$. Для ее оценки обычно вычисляют так называемую корреляционную размерность, используя формулу
\[
D_{c}=\lim _{\epsilon \rightarrow \infty} \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\lg C(\epsilon, N)}{\lg \epsilon},
\]

где $C(\epsilon, N)=N^{-2} \sum_{i
eq j} v\left(\epsilon-\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right)$ – корреляционный интеграл, $\epsilon$ – размер ячейки разбиения фазового пространства, $N$ – число точек, используемых для оценки размерности, $v-$ функция Хевисайда, $\vec{x}_{i}=\vec{x}(i \Delta t)$. Для определения $D_{c}$ строят зависимость $\lg C(\epsilon, N)$ от $\lg \epsilon$ и ищут на ней линейный участок, нак.тон которого и определяет искомое значение размерности. Кроме того, иногда анализируют зависимость $D_{c}(n)$ и увеличивают $n$ до тех пор, пока $D_{c}$ не достигнет насыщения.

Известно, что при вычислении $D_{c}$ существуют ограничения на величину $\epsilon$. Если $\epsilon$ приближается к размерам аттрактора $\epsilon_{\max }$, то линейная зависимость $\lg C(\epsilon, N)$ от $\lg \epsilon$ пропадает, что объясняется влиянием границ аттрактора, где число соседей у каждой точки обычно меньше, чем в \”середине\”. В пределе, если $\epsilon=\epsilon_{\max }$, то $\lg C(\epsilon, N)=1$. С другой стороны, при уменьшении значения $\epsilon$ существует некоторое $\epsilon_{\min }$, такое, что для $\epsilon<\epsilon_{\min }$ структура аттрактора остается неразрешенной. Как следствие, вновь нарушается линейная зависимость $\lg C(\epsilon, N)$ от $\lg \epsilon$.

Одной из проблем при расчете размерности является выбор величин $N$ и $\Delta t$. Целесообразнее их подбирать не по отдельности, а с учетом размера временного окна $N \Delta t$. При этом следует принимать во внимание существование фундаментальных ограничений на величину $D_{c}$, определяемых формулой
\[
D_{\max }=\frac{2 \lg N}{\lg (1 / r)}, \quad r=\frac{\epsilon}{\epsilon_{\max }},
\]

которая означает, что алгоритм расчета размерности не может дать значение больше, чем $D_{\max }$ при заданном числе точек $N$. Иными словами, если $r=0.1$ и $N=1000$, то $D_{\max } \leqslant 6$; если $N=100000$, то $D_{\max } \leqslant 10$. В результате возникают определенные сложности в случае, когда требуется отличить детерминированный процесс в системе с достаточно большим числом степеней свободы от истинно случайного процесса.

Знание размерности позволит нам реконструировать аттрактор методом (9.2), как было описано выше.

Метод задержки Такенса является наиболее известным, но не единственным способом задания вектора состояния. Альтернативой ему служит так называемый метод последовательного дифференцирования, имеющий определенные преимущества при решении задачи реконструкции. Идея данного метода следующая. Пусть имеется временной ряд $a(i \Delta t)=a_{i}, i=1, \ldots, N$. Задание вектора состояния в фазовом пространстве производится следующим образом:
\[
\vec{x}(t)=\left(a(t), d a(t) / d t, \ldots, d^{n-1} a(t) / d t^{n-1}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Поскольку известны значения $a_{i}$ только в дискретные моменты времени $i \Delta t$, координаты $x_{j}$ вектора $\vec{x}$ определяются путем численного дифференцирования исходного временного ряда по приближенным математическим формулам. Очевидно, что точность вычисления производных будет определяться малостью величины шага дискретизации $\Delta t$. Недостатком метода является повышенная чувствительность к шуму, что ограничивает его применимость для пространств вложения большой размерности (по крайней мере, без проведения предварительной процедуры фильтрации).