Наиболее простым и классическим примером генератора томсоновского типа служит известная модель Ван дер Поля [6,16]:
\[
\ddot{x}-\varepsilon\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0,
\]

где $\varepsilon$ – малый положительный параметр, характеризующий степень обратной связи, $\omega_{0}-$ частота периодических колебаний. Математическим образом устойчивых незатухающих периодических колебаний на фазовой плоскости $(x, \dot{x})$ является замкнутая фазовая траектория, названная А. Пуанкаре предельным циклом.

С физической точки зрения понятию предельного цикла отвечает режим так называемых \”автоколебаний\”, когда характеристики устойчивого периодического режима не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой системы. Система (7.2) характеризуется единственным состоянием равновесия типа фокус на фазовой плоскости $(x, \dot{x})$ в нуле координат. Собственные значения со-

стояния равновесия легко вычислить [3]:
\[
s_{1,2}=\frac{\varepsilon}{2} \pm \mathrm{i} \sqrt{1-\frac{\varepsilon^{2}}{4}} .
\]

Как следует из (7.3), при переходе $\varepsilon$ через нуль в область положительных значений состояние равновесия теряет устойчивость. При $\varepsilon=0$ имеем $s_{1,2}= \pm \mathrm{i}$. Состояние равновесия типа фокус претерпевает бифуркацию рождения предельного цикла Андронова-Хопфа. Амплитуда цикла растет пропорционально корню квадратному из надкритичности $(\sqrt{\varepsilon})^{*}$, а период цикла при $0<\varepsilon<1$ определяется соотношениями
\[
T \cong \frac{2 \pi}{\omega(\varepsilon)}, \quad \omega(\varepsilon)=\omega_{0} \sqrt{1-\frac{\varepsilon^{2}}{4}},
\]

то есть частота генерации при $0<\varepsilon<1$ близка к собственной частоте резонансного контура $\omega_{0}$.

Рассмотрим динамику генератора (7.2) при воздействии на него аддитивной гармонической силы [16]:
\[
\ddot{x}-\varepsilon\left(1-x^{2}\right) \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=a \cos \left(\omega_{1} t+\phi_{0}\right) .
\]

Получить решение уравнения (7.5) с помощью компьютера не представляет труда. Однако для понимания сути динамических явлений проведем приближенное аналитическое исследование, которое позволит нам глубже понять физический смысл эффекта синхронизации. Для этого обсудим вначале понятие фазы колебаний. Термин \”фаза колебаний\” первоначально был введен для гармонических процессов типа $x(t)=A \exp (\mathrm{i} \omega t)==A(\cos \omega t+\mathrm{i} \sin \omega t)$. В полярной системе координат это колебание изображается как вращение вектора $A$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Фазе колебаний отвечает угол поворота вектоpa $A$ во времени $\phi=\omega t$. Значению угла в начальный момент времени $\phi_{0}=\omega t_{0}$ отвечает начальная фаза, с которой регистрируется колебательный процесс во времени $t>t_{0}$.

В диссипативных нелинейных системах такое определение фазы использовать нельзя, так как колебания в них не могут быть строго гармоническими. Как же поступить в такой ситуации? Ответ зависит от того, какую динамическую систему и какой тип автоколебаний мы исследуем.

Вернемся к системе (7.5). При малых $0<\varepsilon \ll 1$ и $a=0$ уравнение (7.5) описывает автоколебания в генераторе томсоновского типа. В этом случае решение $x(t)$ можно искать в виде
\[
x(t)=A(t) \cos \left[\omega_{1} t+\phi(t)\right], \quad \dot{x}(t)=-\omega_{1} A(t) \sin \left[\omega_{1} t+\phi(t)\right],
\]

где $A(t)$ – медленно меняющаяся во времени амплитуда колебаний, $\phi(t)$ – медленно меняющаяся во времени фаза колебаний, $\omega_{1}$ – частота внешнего сигнала в (7.5). Иначе говоря, мы вводим в рассмотрение понятие мгновенной амплитуды $A(t)$ и мгновенной фазы колебаний:
\[
\Phi(t)=\omega_{1} t+\phi(t) .
\]

Решение уравнений (7.5) будем искать в виде:
\[
x(t)=A(t) \cos \Phi(t) .
\]

В этом случае зависящая от времени компонента фазы $\phi(t)=\Phi(t)-\omega_{1} t$ представляет собой мгновенную разность фаз между результирующим, близким к гармоническому, процессом $x(t)$ и внешним гармоническим сигналом. Условие медленного изменения фазы $\phi(t)$ во времени означает, что $\dot{\phi}(t) \ll \omega_{1}$. Опуская процедуру несложных, но громоздких преобразований, описанную во многих учебниках, запишем явный вид уравнений первого приближения для мгновенной амплитуды $A(t)$ и мгновенной фазы $\phi(t)$
\[
\begin{array}{l}
\dot{A}=\frac{\varepsilon A}{2}\left(1-\frac{A^{2}}{4}\right)-\mu \sin \phi, \\
\dot{\phi}=\Delta-\frac{\mu}{A} \cos \phi,
\end{array}
\]

где $\mu=a / 2 \omega_{1}$ – параметр нелинейности системы (7.9), $\Delta=$ $=\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}\right) / 2 \omega_{1} \cong \omega_{0}-\omega_{1}-$ расстройка по частоте между собственной частотой автономного генератора и частотой внешнего сигнала в (7.5), $\varepsilon$ – параметр возбуждения генератора.

Уравнения (7.9) по смыслу представляют собой усредненные по времени уравнения, которые часто называются системой \”укороченных уравнений\”. Неподвижной точке системы (7.9) ( $\dot{A}=0, \dot{\phi}=0$ ) будет отвечать периодическое решение исходной системы (7.5), а периодическому решению (7.9) – двухчастотное квазипериодическое решение уравнения (7.5).

Отметим, что укороченные уравнения получены в приближении медленно меняющихся амплитуды и фазы и, как показывают расчеты, могут описывать процесс $x(t)$ в (7.5) при условии, что $\mu \leqslant 0.05$.

Предположим, что система уравнений (7.9) имеет в качестве решения неподвижную точку (или состояние равновесия) $\dot{A}=0, \dot{\phi}=0$, и она устойчива. Условие $\dot{A}=0$ означает постоянство во времени амплитуды колебаний, а условие $\dot{\phi}=0$ означает, что $\dot{\Phi}=\omega_{1}$ (см. (7.7)), то есть частота вынужденных колебаний в системе (7.5) будет совпадать с частотой внешней силы. Если этот режим колебаний возможен и является устойчивым, то частота колебаний в неавтономном генераторе (7.5) изменится и окажется равной частоте внешней силы $\omega_{1}$. При этом амплитуда колебаний во времени меняться не будет. Генератор \”подстроится\” по частоте, и реализуется эффект вынужденной синхронизации.

Найти координаты неподвижной точки $A^{0}(\mu, \Delta)$ и $\phi^{0}(\mu, \Delta)$ можно аналитически, решая (7.9) при условии равенства нулю правых частей уравнений. Можно также аналитически исследовать устойчивость $A^{0}$ и $\phi^{0}$. Расчеты показывают, что на плоскости параметров $(\mu, \Delta)$ существует область их значений, в которой состояние равновесия устойчиво. Эта область представлена на рис. 7.2. На границах области (линии $l_{a}$ ) равновесие теряет устойчивость, из равновесия рождается предельный цикл (переход из области I в области II).

Как уже отмечалось, в полной системе (7.5) состоянию равнове-
Рис. 7.2. Область синхронизации, отвечающая устойчивости неподвижной точки системы (6.9). сия отвечает предельный цикл, а циклу – двумерный тор. Это означает, что в области I мы имеем устойчивые колебания с частотой $\omega_{1}$, а вне ее – квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{0}$. Область I, в которой частота колебаний генератора $\omega_{0}=\omega_{1}$, называется областью синхронизации на основном тоне.

Эффект синхронизации иллюстрирует также зависимость разности частоты колебаний системы (7.5) и частоты внешнего воздействия от

Рис. 7.3. Зависимость разности средней частоты колебаний в системе (6.5) и частоты внешнего воздействия от величины параметра расстройки для различных значений интенсивности шума.

расстройки $\Delta$ (кривая 1 на рис. 7.3). Как видно из рисунка, в конечной области значений параметра расстройки частота собственных колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия. Вне области синхронизации частота колебаний генератора отличается от частоты внешней силы и в системе реализуется режим двухчастотных квазипериодических колебаний. Интересным представляется следующий вопрос: что будет происходить при дальнейшем увеличении расстройки, то есть при дальнейшем увеличении частоты внешней силы в области квазипериодических колебаний? Для ответа на данный вопрос введем в рассмотрение так называемое число вращения Пуанкаре, как отношение частот $\theta=\omega_{1} / \omega$. Здесь $\omega_{1}-$ частота внешней силы, а $\omega$ – частота колебаний генератора. В рассмотренном выше случае синхронизации на основном тоне мы имеем $\omega=\omega_{1}$ и число вращения равно единице. Этот случай отвечает резонансу $1: 1$ на двумерном торе. Как видно из рис. 7.3 (кривая 1), при выходе из области синхронизации $\omega
eq \omega_{1}$, а их разность монотонно растет с увеличением $\omega_{-}$. Это означает, что число вращения также будет изменяться по величине, принимая последовательно то иррациональные, то рациональные значения.

Рациональным значениям числа вращения $\theta=m: n$ отвечают более сложные (в сравнении с резонансом $1: 1$ ) резонансные циклы на торе. Области устойчивости этих циклов определяют соответствующие области синхронизации или области захвата частоты и фазы. С увеличением порядка резонансов (с ростом $m$ и $n$ ) области синхронизации становятся заметно уже, но сохраняют качественно форму области синхронизации при резонансе $1: 1$ (см. рис. 7.2). Если произвести расчеты зависимости $\omega-\omega_{1}$ от расстройки $\Delta$ в диапазоне $0 \geqslant|\Delta| \geqslant 1$, используя исходные уравнения (6.5), то мы получим график с бесконечным числом \”полочек\” типа рис. 7.3, ширина которых уменьшается с ростом $m$ и $n$. Этот график имеет фрактальную структуру и носит название \”дьявольской лестницы\”.

Рассмотренный выше случай динамики генератора Ван дер Поля при внешнем гармоническом воздействии отвечает случаю так называемой внешней или вынужденной синхронизации. При внешней синхронизации воздействие на генератор является однонаправленным, обратная реакция генератора на источник внешней силы отсутствует. На практике реализуется и более общий случай – взаимодействие двух автоколебательных систем с различными собственными частотами $\omega_{1}^{0}$ и $\omega_{2}^{0}$. Данное взаимодействие характеризуется тем, что колебания двух генераторов оказывают влияние друг на друга, а связь между ними осуществляется в обоих направлениях. Исследования показали, что качественного различия между этими случаями нет: эффект синхронизации наблюдается и при взаимной связи между двумя генераторами. Отличие может состоять лишь в том, что частота синхронных колебаний может быть $\omega_{1}^{0}, \omega_{2}^{0}$ или не совпадать с ними, занимая промежуточное значение $\omega_{1}^{0}<\omega_{\mathrm{p}}<\omega_{2}^{0}$. Эффект синхронизации двух взаимодействующих генераторов называют взаимной синхронизацией.

Совокупность рассмотренных динамических явлений в неавтономном и связанных генераторах позволяет сформулировать критерии и основные свойства нелинейного явления, называемого синхронизацией. Основным признаком как внешней, так и взаимной синхронизации является установление режима колебаний с постоянным и рациональным значением числа вращения Пуанкаре $\theta=m: n$, которое coxpaняется в некоторой конечной области значений параметров системы, называемой областью синхронизации. Область синхронизации характеризуется эффектом захвата частоты и фазы колебаний. Захват частоты означает рациональное отношение двух исходно независимых частот $\omega_{1}: \omega_{2}=m: n$ всюду в области синхронизации. Захвату фаз отвечает

постоянство разности фаз колебаний взаимодействующих генераторов в области синхронизации ( $\dot{\phi}=0, \phi_{\mathrm{st}}=$ const).

С физической точки зрения эффект синхронизации состоит в том, что два характерных собственных временных масштаба взаимодействующих колебательных систем, которые в отсутствие связи являлись независимыми, при взаимодействии оказываются целочисленно кратными или рационально связанными. При этом важно, что эта кратность оказывается фиксированной в некоторой конечной области значений параметров системы, называемой областью синхронизации.