Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Любая динамическая система (физическая, химическая, механическая и т.д.) ассоциируется в нашем представлении с эволюцией во времени. Предвидя возражения, укажем, что и состояние равновесия, то есть стационарное состояние, при котором скорость изучаемого процесса равна нулю, также можно трактовать как предельный случай эволюции системы во времени. В естествознании типичной моделью динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение где $x(t)$ – переменная состояния, $F$ – некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции, $\mu$ – параметр системы. Если задано начальное состояние $x\left(t_{0}\right)$, то существует единственное решение уравнения (2.1), которое предсказывает будущее состояние $x(t)$ для любых $t>t_{0}$. Если число переменных состояния равно двум (или более), то моделью будет система двух (или более) уравнений: Число параметров также может быть больше, чем один. В связи с тем, что проблема устойчивости связана с анализом реакции системы на малое возмущение ее состояния, на первом этапе она может быть исследована в рамках линейного приближения. Поясним это. Пусть $x^{0}(t)$ есть некоторое частное решение уравнения (2.1). Устойчивость этого решения (состояния) мы хотим исследовать. Введем в рассмотрение переменную $y(t)$, которая задает малое отклонение от частного решения: Производные функции $F$ должны вычисляться в точках, соответствующих частному решению. где Слагаемые $\Phi(y)$ включают все члены с $y^{n}(n \geqslant 2)$, то есть учитывают нелинейные добавки. По определению переменная $y(t)$ есть малое отклонение от частного решения. Поэтому нелинейными членами в уравнении (2.5) в первом приближении можно пренебречь. Таким образом, для эволюции малого возмущения мы получаем линейное уравнение: Рассмотрим пример. Пусть динамическая система задана уравнением: Найдем стационарные состояния этой системы и исследуем их устойчивость. В стационарном состоянии изменений во времени нет, значит $\dot{x}=0$ и мы получаем: Рассмотрим уравнение для возмущений (2.7) применительно к первому стационарному состоянию $x_{1}^{0}$. Решением уравнения (2.10) будет $y=\exp (\lambda t)$. Возмущение $y$ экспоненциально затухает во времени ( $\lambda$ есть отрицательное число). Это означает, что состояние $x_{1}^{0}$ устойчиво! Так как второе состояние $x_{2}^{0}$ отличается от первого только знаком, то решение уравнения (2.10) в этом случае будет экспоненциально нарастающим во времени. Стационарное состояние $x_{2}^{0}$ неустойчиво! Достаточно простая идея предсказания устойчивости по линейному приближению оказалась весьма плодотворной. Используя математический формализм, можно обобщить результат (2.7) на случай двух и более переменных состояния. Например, в слутае $N=2$ уравнение (2.7) примет вид: где $a_{i j}=\left.\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{x_{i}=x_{i}^{0}}, i, j=1,2$.
|
1 |
Оглавление
|