Любая динамическая система (физическая, химическая, механическая и т.д.) ассоциируется в нашем представлении с эволюцией во времени. Предвидя возражения, укажем, что и состояние равновесия, то есть стационарное состояние, при котором скорость изучаемого процесса равна нулю, также можно трактовать как предельный случай эволюции системы во времени. В естествознании типичной моделью динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение
\[
\frac{d x(t)}{d t}=\dot{x}=F(x, \mu),
\]

где $x(t)$ — переменная состояния, $F$ — некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции, $\mu$ — параметр системы. Если задано начальное состояние $x\left(t_{0}\right)$, то существует единственное решение уравнения (2.1), которое предсказывает будущее состояние $x(t)$ для любых $t>t_{0}$. Если число переменных состояния равно двум (или более), то моделью будет система двух (или более) уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}=F_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \\
\dot{x}_{2}=F_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) .
\end{array}
\]

Число параметров также может быть больше, чем один.

В связи с тем, что проблема устойчивости связана с анализом реакции системы на малое возмущение ее состояния, на первом этапе

она может быть исследована в рамках линейного приближения. Поясним это. Пусть $x^{0}(t)$ есть некоторое частное решение уравнения (2.1). Устойчивость этого решения (состояния) мы хотим исследовать. Введем в рассмотрение переменную $y(t)$, которая задает малое отклонение от частного решения:
\[
y(t)=x(t)-x^{0}(t),
\]
(здесь $x(t)$ — возмущенное решение).
Наша задача состоит в исследовании эволюции во времени малого возмущения $y(t)$, которая подчиняется уравнению (2.1). Разложим функцию $F$ в степенной ряд в окрестности частного решения $x^{0}(t)$ :
\[
F(y)=\left.\frac{d F}{d x}\right|_{x=x^{0}(t)} y(t)+\left.\frac{d^{2} F}{d x^{2}}\right|_{x=x^{0}(t)} y^{2}(t)+\ldots
\]

Производные функции $F$ должны вычисляться в точках, соответствующих частному решению.
Перепишем уравнение (2.1) для возмущения $y(t)$ с учетом (2.4):
\[
\dot{y}(t)=F(y, \mu)=\left.\frac{d F}{d x}\right|_{x=x^{0}(t)} y(t)+\Phi(y),
\]

где
\[
\Phi(y)=\left.\frac{d^{2} F}{d x^{2}}\right|_{x=x^{0}(t)} y^{2}(t)+\ldots
\]

Слагаемые $\Phi(y)$ включают все члены с $y^{n}(n \geqslant 2)$, то есть учитывают нелинейные добавки. По определению переменная $y(t)$ есть малое отклонение от частного решения. Поэтому нелинейными членами в уравнении (2.5) в первом приближении можно пренебречь.

Таким образом, для эволюции малого возмущения мы получаем линейное уравнение:
\[
\dot{y}=A(t) y, \quad \text { где } A(t)=\left.\frac{d F}{d x}\right|_{x=x^{0}(t)} .
\]

Рассмотрим пример. Пусть динамическая система задана уравнением:
\[
\dot{x}=a-b x^{2}, a>0, b>0 .
\]

Найдем стационарные состояния этой системы и исследуем их устойчивость. В стационарном состоянии изменений во времени нет, значит

$\dot{x}=0$ и мы получаем:
\[
x_{1,2}^{0}= \pm \sqrt{\frac{a}{b}} .
\]

Рассмотрим уравнение для возмущений (2.7) применительно к первому стационарному состоянию $x_{1}^{0}$.
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}=-\left(2 b x_{1}^{0}\right) y=(-2 \sqrt{a b}) y=\lambda y, \\
\lambda=\left.\frac{d F}{d x}\right|_{x=x_{1}^{0}}=-2 \sqrt{a b} .
\end{array}
\]

Решением уравнения (2.10) будет $y=\exp (\lambda t)$. Возмущение $y$ экспоненциально затухает во времени ( $\lambda$ есть отрицательное число). Это означает, что состояние $x_{1}^{0}$ устойчиво! Так как второе состояние $x_{2}^{0}$ отличается от первого только знаком, то решение уравнения (2.10) в этом случае будет экспоненциально нарастающим во времени. Стационарное состояние $x_{2}^{0}$ неустойчиво!

Достаточно простая идея предсказания устойчивости по линейному приближению оказалась весьма плодотворной. Используя математический формализм, можно обобщить результат (2.7) на случай двух и более переменных состояния. Например, в слутае $N=2$ уравнение (2.7) примет вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{y_{1}}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}, \\
\dot{y_{2}}=a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2},
\end{array}
\]

где $a_{i j}=\left.\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{x_{i}=x_{i}^{0}}, i, j=1,2$.
Если одномерное уравнение (2.1) описывает эволюцию исключительно в окрестности стационарных состояний, то уравнение (2.2) может иметь в качестве решения не только стационарные, но и периодические решения. С увеличением размерности исходной системы (2.1) в общем случае усложняются и типы возможных решений. Это создает определенные проблемы в исследовании устойчивости: ведь для решения уравнений для возмущений типа (2.7) необходимо знать частное решение $x^{0}(t)$ ! С применением современных компьютеров эти трудности легко преодолимы.