Рассмотрим дифференциальную динамическую систему (генератор Анищенко-Астахова [3]), иллюстрирующую механизм рождения и типичные свойства квазиаттрактора в системах с петлей сепаратрисы седло-фокуса состояния равновесия. Эта модель представляет собой трехмерную двухпараметрическую дифференциальную систему уравнений:
$$\begin{array}{l}\dot{x}=mx+y-xz,\\ \dot{y}=-x,\\ \dot{z}=-gz+gI(x)x^2,\text{ где }I(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}\end{array}$$

Зафиксируем значения параметров $m=2.412,g=0.097$ и вычислим зависимость старшего показателя спектра ЛХП от начальных условий.

Результаты представлены на рис. 5.6, $a$ и свидетельствуют о сосуществовании двух хаотических и периодического режимов колебаний.

При изменении параметров системы совокупность ее предельных множеств претерпевает бифуркации. Иллюстрацией этого факта может служить график зависимости старшего показателя спектра ЛХП от параметра $m$, представленный на рис. 5.6,б. Обращение в нуль показателя ${\lambda }_1$ свидетельствует о рождении одного из множеств предельных циклов, претерпевающих каскады бифуркаций удвоения периода. Бифуркации аттракторов сопровождаются изменением структуры бассейнов их притяжения, которые приобретают фрактальные свойства.

Рис. 5.6. Зависимости старшего показателя Ляпунова от начальных значений координаты $x$ при $m=2.412,g=0.097$ (a) и от параметра $m$ при $g=0.3$ (б).

Присутствие в квазиаттракторе устойчивых и седловых циклов наряду с хаотическими предельными множествами проявляется в структуре автокорреляционной функции, которая в среднем экспоненциально спадает во времени, и в структуре спектра мощности, являющегося сплошным. Однако в структуре АКФ присутствуют периодические компоненты и в спектре заметны резкие выбросы на некоторых характерных частотах. Эти особенности АКФ и спектра хаотического режима являются типичными и существенно отличают квазиаттрактор от аттрактора Лоренца, также как квазиаттрактор Хенона от квазигиперболического аттрактора Лози.

Фрактальность границ бассейнов притяжения и свойство системы, обусловленное множеством бифуркаций режимов при малом шевелении параметров, приводят к высокой чувствительности системы к внешним шумовым возмущениям подобно аттрактору Хенона. Безусловно, фундаментальной причиной совокупности указанных свойств квазиаттрак-

тора является счетное множество гомоклинических касаний устойчивых и неустойчивых многообразий, в силу которого системы типа (5.3) являются негрубыми. В системе Хенона эффекты гомоклинического касания можно наблюдать в численном эксперименте, в трехмерных системах это более сложная задача. Однако данные рис. 5.6 являются, безусловно, следствием эффекта гомоклинического касания и могут рассматриваться в качестве типичных характеристик квазиаттрактора.