Обоснование существования квазигиперболического аттрактора в динамической системе требует доказательства двух положений: 1) в аттракторе все фазовые траектории являются неустойчивыми; 2) при вариации параметров системы устойчивых траекторий не возникает. Эта сугубо математическая задача в силу нелинейности динамической системы не может быть решена в общем виде. Однако применительно к некоторым конкретным динамическим системам эта задача, к счастью, имеет решение.

Рассмотрим наиболее простой пример – аттрактор Лози в двумерной дискретной динамической системе:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=1-a\left|x_{n}\right|+y_{n}, \\
y_{n+1}=b x_{n} .
\end{array}
\]

Система (4.3) представляет собой нелинейное взаимно однозначное диссипативное (для $b<1$ !) отображение, которое в силу диффеоморфизма является в строгом смысле отображением Пуанкаре некоторой дифференциальной системы с размерностью фазового пространства $N=3$. Поэтому свойства, обнаруженные и доказанные для этой системы, будут достоверно применимы к потоку в $\mathbf{R}^{3}$.

Рис. 4.3. Аттрактор Лози $G_{0}$ и бассейн его притяжения $G_{1}$ для $a=1.5$ при $b=0.3$ (траектории из серой области имеют в качестве аттрактора бесконечность).

Теоретически установлено, что в системе (4.3) в области значений $1.3<a<1.8$ существует единственный хаотический аттрактор, который не содержит устойчивых неподвижных точек. Этот аттрактор известен в литературе как квазигиперболический аттрактор Лози, для которого нарушается 2-е условие гиперболичности.

На рис. 4.3 приведен аттрактор Лози и область (бассейн) его притяжения. Аттрактор Лози $G_{0}$ – единственное притягивающее множество в интервале $1.3<a<1.8$ при $b=0.3$ с однородным бассейном притяжения $G_{1}$. Любая начальная точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, принадлежащая бассейну притяжения $G_{1}$, со временем стремится к аттрактору Лози.

Рис. 4.4. Автокорреляционная функция для $a=1.75$. Пунктирной линией показана аппроксимация экспоненциальной функцией $\left(\lambda_{1}=0.53\right.$ – старший ляпуновский показатель, соответствующий параметру $a$ ).

Характерной является зависимость старшего показателя Ляпунова от параметра $a$. При фиксированном $b=0.3$ аттрактор Лози возникает жестко при $a_{\text {кр }}=1.3$ и остается хаотическим во всей области существования $1.3<a<1.8$. Зависимость $\lambda_{1}(a)$ не имеет провалов до нуля и представляет собой гладкую положительно определенную функцию. Этот результат отражает факт отсутствия устойчивых неподвижных точек (окон устойчивости) в области существования аттрактора Лози.

Спектр мощности $S(\omega)$, рассчитанный по координате $x_{n}$ в области существования аттрактора Лози, является гладкой функцией и не включает явных выбросов на каких-либо характерных частотах. Вследствие этого автокорреляционная функция (АКФ) процесса $x_{n}$ спадает по закону, близкому к экспоненциальному (рис. 4.4).

Как уже отмечалось, для грубых гиперболических аттракторов должно выполняться условие трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловой траектории. Сопоставление рис. 4.3 и 4.5 показывает, что устойчивые многообразия седловых циклов определяют границы бассейна притяжения аттрактора, а сам хаотический аттрактор располагается вдоль неустойчивых сепаратрис, повторяя их форму. Из рис. 4.5 видно, что пересечение многообразий всюду трансверсально и появление гомоклинических траекторий не ведет к рождению устойчивых периодических орбит. Гиперболическое хаотическое множество – единственное притягивающее предельное множество в фазовом пространстве системы (4.3).

Рис. 4.5. Поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового состояния равновесия $q$ отображения Лози при $a=1.7, b=0.3$.

Рис. 4.6. Распределение вероятностей угла $\phi$ между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории на аттракторе Лози для $a=1.7, b=0.3(a)$; зависимость минимального угла $\phi_{\min }$ от параметра системы $a$ при $b=0.3$ (б).

Система Лози является одной из простейших, для которых условие гиперболичности траекторий на хаотическом аттракторе можно проверить в численном эксперименте. С этой целью была разработана специальная программа, позволяющая рассчитать вероятность $P(\phi)$ угла $\phi$ между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий седловой траектории $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ при $n \rightarrow \infty$ (рис. 4.6,a) [4]. Расчеты углов были проведены для 18000 точек на аттракторе. Из графика видно, что существует некоторое минимальное значение, принимаемое углом $\phi$, и оно отлично от нуля. Минимальное значение $\phi_{\min }$ зависит от параметров отображения (рис. 4.6,б). Во всем интервале значений $a$, где существует хаотический аттрактор, минимальный угол между направлениями устойчивого и неустойчивого многообразий фазовой траектории больше $40^{\circ}$ и в нуль не обращается. Многообразия хаотических траекторий ведут себя так же, как и многообразия седлового цикла: они всегда трансверсальны.