Рассмотрим пример квазигиперболического аттрактора в дифференциальной системе – в системе Лоренца. Для аттрактора Лоренца, как и для аттрактора Лози, нарушается одно из требований гиперболичности (условие 2). Аттракторы типа Лоренца обнаружены в ряде систем и являют собой типичный пример квазигиперболических аттракторов. Доказано, что аттрактор Лоренца включает только седловые траектории, при вариации параметров бифуркации в нем отсутствуют, устойчивые точки или циклы не возникают. Аттрактор Лоренца характеризуется качественно теми же свойствами, что и аттрактор Лози, и рассматривается как классический пример квазигиперболического хаоса.

Уравнения Лоренца были получены из уравнений Навье-Стокса в задаче о тепловой конвекции и имеют вид
\[
\dot{x}=-\sigma(x-y), \quad \dot{y}=r x-y-x z, \quad \dot{z}=x y-b z,
\]

где $\sigma, b$ и $r$ – управляющие параметры. К уравнениям типа (4.4) сводятся некоторые модели лазеров, а также модель дискового динамо $[3,4,9]$.

Рис. 4.7. Бифуркационная диаграмма системы Лоренца на плоскости параметров $r$ и $\sigma$ для $b=8 / 3$.

Отметим, что в системе (4.4) режим квазигиперболического хаоса реализуется в конечной области значений ее управляющих параметров. На рис. 4.7 представлена бифуркационная диаграмма системы (4.4). Существованию аттрактора Лоренца отвечает заштрихованная область в параметрическом пространстве. Фазовый портрет аттрактора Лоренца представлен на рис. $4.8, a$. Вне указанной области свойства хаотического аттрактора будут иными: аттрактор Лоренца трансформируется в квазиаттрактор.

Назовем типичные свойства аттрактора Лоренца: спектр ЛХП не изменяется при вариации начальных условий, так как аттрактор Лоренца является единственным, бассейном притяжения которого служит все фазовое пространство; спектр ЛХП практически не меняется, если варьировать управляющие параметры системы в области существования аттрактора Лоренца. Эти свойства наглядно иллюстрируют грубость аттрактора Лоренца с точки зрения эксперимента: структура аттрактора сохраняется при вариации параметров и начальных условий, бифуркации аттрактора отсутствуют.

Рис. 4.8. Фазовый портрет (a) и автокорреляционная функция (б) аттрактора Лоренца при $\sigma=10, r=28$ и $b=8 / 3$.

Следствием хаотической динамики является характерный вид автокорреляционной функции. Автокорреляционная функция аттрактора Лоренца экспоненциально спадает с увеличением времени практически монотонно, что иллюстрирует рис. 4.8,б. Сравнение графиков автокорреляционных функций аттракторов Лоренца и Лози свидетельствует о качественной эквивалентности динамических процессов в почти гиперболических системах.