После восстановления фазового портрета аттрактора ДС любым из вышеперечисленных методов может быть решена задача реконструкции оператора эволюции. Наиболее простой способ для этого – создать $n$ мерное дискретное отображение
\[
\begin{array}{l}
x_{1, i+1}=F_{1}\left(x_{1, i}, x_{2, i}, \ldots, x_{n, i}\right), \\
\ldots \ldots \ldots \\
x_{n, i+1}=F_{n}\left(x_{1, i}, x_{2, i}, \ldots, x_{n, i}\right),
\end{array}
\]

где $x_{j, i}$ – координаты вектора состояния, рассмотренного в моменты времени $i \Delta t, F_{j}$ – нелинейные функции.

В рамках алгоритма глобальной реконструкции для получения конкретного вида эволюционного оператора функции $F_{j}, j=1, \ldots, n$ представляют в виде разложения по некоторому базису, ограничиваясь при этом конечным числом членов разложения. В простейшем случае задание $F_{j}$ может осуществляться полиномами некоторой степени $
u$ :
\[
F_{j}\left(\vec{x}_{i}\right)=\sum_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}=0}^{
u} C_{j, l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}} \prod_{k=1}^{n} x_{k, i}^{l_{k}}, \quad \sum_{k=1}^{n} l_{k} \leqslant
u
\]

где $C_{j, l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}}$ – неизвестные коэффициенты, которые требуется найти. Для аппроксимации могут применяться полиномы Лежандра, либо может использоваться более сложная методика. Для задания $F_{j}$ мы ограничимся формулой (9.9).

Система уравнений (9.8) допускает запись для любого номера $i$. Для нахождения коэффициентов (9.9) необходимо решить систему $N$ линей-

ных алгебраических уравнений
\[
x_{j, i+1}=\sum_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}=0}^{
u} C_{j, l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}} \prod_{k=1}^{n} x_{k, i}^{l_{k}}, \quad i=1, \ldots, N
\]

с неизвестными $C_{j, l_{1}, \ldots, l_{n}}$, в которой $N$ – число точек скалярного временного ряда, используемых для аппоксимации правых частей, $
u-$ степень полинома.

При заданных $n$ и $
u$ число коэффициентов $K$ полиномов (9.9) в общем случае может быть определено по формуле $K=(n+
u) ! /(n !
u !)$. Как правило, $N \gg K$, поэтому для конкретизации эволюционного оператора система уравнений (9.10) решается методом наименьших квадратов. Получающаяся математическая модель является громоздкой, но при условии удачного выбора общего вида нелинейных функций ее peшение воспроизводит сигнал с высокой степенью точности.

Аналогичным образом можно реконструировать не только дискретные отображения, но и математические модели в виде системы ОДУ 1-го порядка:
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{1}}{d t} & =F_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
\cdots \cdots & \cdots \ldots \ldots \\
\frac{d x_{n}}{d t} & =F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Смысл функций в правых частях тот же, что и ранее. Так как на первом этапе алгоритма была осуществлена реконструкция фазовой траектории, это значит, что все $x_{i}$ известны: следовательно, можно определить производные от них. Поэтому (9.11) снова есть ни что иное, как система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

Если в качестве способа задания вектора состояния в фазовом пространстве используется метод последовательного дифференцирования, то математическую модель можно восстановить в более простом виде
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \frac{d x_{2}}{d t}=x_{3}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d t}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\]

в силу того, что взаимосвязь между координатами однозначно задается равенством (9.7).