Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора:
\[
\ddot{x}+\sin x=0, \ddot{x}=d^{2} x / d t^{2} .
\]

Как известно, функция $\sin x$ аналитическая и ее разложение в ряд Тейлора выглядит так:
\[
\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{(4 n+1) !}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{(4 n-1) !} .
\]

При малых $x \ll 1, \sin x \simeq x$. С увеличением $x$ требуется учет второго, третьего и т.д. членов ряда, чтобы с заданной точностью аппроксимировать $\sin x$. Поэтому в случае $x \ll 1$ мы получаем самую простую модель математического маятника:
\[
\ddot{x}+x=0 .
\]

Следующим приближением будет модель нелинейного маятника:
\[
\ddot{x}+x-\frac{x^{3}}{6}=0,
\]

и так далее. На рис. 1.1 приведены результаты аппроксимации функции $\sin x$ конечным числом членов ряда для $n=1,3, \ldots, 43$. Для каждого конкретного значения $n$ мы будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника.

Рис. 1.1. Аппроксимация функции $\sin x$ конечным числом членов ряда (1.2) для $n=1,3, \ldots, 43$.