Теперь рассмотрим неустойчивую детерминированную систему с учетом действия механизма нелинейного ограничения нарастаний возмущений. Для простоты рассмотрим состояние равновесия, которому отвечает точка в пространстве фазовых координат системы. Выведем систему из равновесия малым отклонением. Это возмущение начнет нарастать в силу неустойчивости. Далее нарастание возмущения начнет замедляться (вступит в силу механизм нелинейного ограничения). Что можно ожидать в этой ситуации? Во-первых: в силу нелинейного ограничения отклонение уменьшится строго до нуля. Система вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически это возможно, однако очень маловероятно, так как исходное состояние равновесия неустойчиво. Более вероятна вторая ситуация: система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Этот процесс будет длиться бесконечно во времени! Но реализация такого процесса требует некоторых специальных условий.

Предположим, что мы имеем дело с двумерной дифференциальной динамической системой. Пространство ее состояний – фазовая плоскость с координатами $x$ и $y$. Если малое возмущение состояния равновесия в такой системе будет нарастать, а далее в результате нелинейного ограничения уменьшаться, то возможны два варианта: появление новых устойчивых состояний равновесия вблизи неустойчивого, либо выход траектории на новый режим, отвечающий периодическим колебаниям.

Рис. 3.1. Рождение устойчивого предельного цикла Г в окрестности неустойчивого равновесия $\mathrm{O}$. Поведение траекторий при малых ( $a$ ) и при больших (б) отклонениях от равновесия.

Второй вариант иллюстрирует рис. 3.1.
При малых амплитудах возмущения (рис. 3.1,a) траектория по спирали удаляется от точки равновесия О. При больших отклонениях (рис. 3.1,б) траектория возвращается. В результате вместо потерявшего устойчивость состояния равновесия появляется новый режим – периодические автоколебания, которым отвечает предельный цикл Г на фазовой плоскости.

Неустойчивость состояния равновесия в двумерной системе при наличии механизма нелинейного ограничения нарастания возмущений порождает новый режим – режим устойчивых периодических колебаний. Если мы вообразим себе иную ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, мы придем к противоречию: фазовая траектория обязана будет самопересекаться (рис. 3.2)! Но это будет означать, что существуют различные начальные условия, приводящие в процессе эволюции к одинаковым состояниям! Это невозможно в силу понятия детерминизма, которое в данном примере проявляется в содержании теоремы единственности решения: при заданных начальных условиях решение существует и оно единственное, другого не дано.

Рис. 3.2. Поведение динамической системы, которое невозможно реализовать на плоскости в силу пересечения фазовых траекторий. Реально эта картина получается путем проекции трехмерной траектории на плоскость двух переменных