Каковы же наиболее важные количественные характеристики хаотических сигналов, отличающие их от регулярных и позволяющие расширить спектр диагностических критериев состояния динамических систем? Перечислим наиболее важные из них.

Степень хаотичности сигнала.
Так как хаотический сигнал является очень похожим по своей структуре на случайный, естественно, должны существовать количественные меры \”степени случайности\” хаотического сигнала. Фундаментальной характеристикой степени случайности является энтропия. Имея достаточно длинную хаотическую реализацию $x(t)$, нужно рассчитать плотность распределения вероятностей $p(x)$, которая для стационарных процессов не зависит от времени. Далее вычисляется энтропия $H_{x}=-\int p(x) \log p(x) d x$. В силу дискретности процедуры счета на ЭВМ, интеграл заменяется суммой и энтропия $H^{*}$ всегда будет ограниченной положительной величиной.

Использование энтропии для характеристики хаотических процессов имеет более глубокое фундаментальное обоснование. Хаотические траектории всегда неустойчивы в смысле Ляпунова. Степень неустойчивости имеет в качестве количественной меры так называемые положительные показатели Ляпунова. Именно наличие положительных показателей Ляпунова ведет к перемешиванию и \”производит\” энтропию динамической системы. Таким образом, энтропия и ляпуновский показатель являются взаимосвязанными количественными характеристиками степени хаотичности исследуемого процесса $x(t)$, что можно использовать в диагностических целях.

Размерность хаотического аттрактора.

Как известно, хаотические аттракторы как образы динамического хаоса в фазовом пространстве системы имеют в общем случае дробную (нецелую) метрическую размерность. Этим специфическим свойством обладают только хаотические автоколебания и размерность аттрактора безусловно является характерным специфическим количественным критерием, позволяющим различать структуру хаотических колебаний. Размерность формально вводится как чисто геометрическая характеристика аттрактора. Однако и здесь имеет место фундаментальная взаимосвязь размерности, введенной из геометрических соображений, с динамическими свойствами аттрактора, характеризуемыми спектром ляпуновских экспонент, определяющих так называемую \”ляпуновскую\” размерность. Следствием является использование для диагностики как метрических (фрактальных) размерностей, так и ляпуновской (динамической) размерности аттракторов.

Автокорреляционная функция и спектр мощности.
В силу апериодической \”шумоподобной\” структуры хаотической реализации динамического процесса $x(t)$ ее спектральная плотность мощности, вычисляемая как преобразование Фурье от интенсивности процесса, представляет собой непрерывную функцию частоты $S(\omega)$. Вид этой функции, наличие ярко выраженных максимумов на характерных частотах, частотный диапазон, включающий основную энергию колебаний, и другие свойства функции $S(\omega)$ могут быть использованы в качестве диагностических критериев. В частности, если чисто формально рассматривать $S(\omega)$ как плотность распределения мощности сигнала $x(t)$ по частотам, то можно ввести понятие энтропии спектра $H_{\omega}$ и т.д.

По теореме Винера-Хинчина спектр мощности $S(\omega)$ через преобразование Фурье связан с автокорреляционной функцией процесса $x(t)$ : $\Psi(\tau)=\langle x(t) x(t+\tau)\rangle$ (угловые скобки означают процедуру усреднения). Так как спектральная функция $S(\omega)$ непрерывна в конечном интервале частот, автокорреляционная функция $\Psi(\tau)$ будет иметь вид спадающей

во времени $\tau$ функции. Время $\tau_{0}$ спадания $\Psi(\tau)$ в заданное число раз называют временем корреляции, которое также характеризует степень случайности процесса и может быть использовано для диагностики.

Помимо вышеперечисленных характеристик хаотических колебаний для диагностики состояния системы могут быть использованы и ряд других специфических характеристик режимов динамического хаоса. Например, по имеющейся экспериментальной зависимости одной из координат процесса $x(t)$, которая вводится в память компьютера в виде дискретного временного ряда $(x(i \Delta t), i=1,2, \ldots, \Delta t$ – время дискретизации), можно с помощью специальных методов восстановить аттрактор, топологически эквивалентный аттрактору исходной динамической системы, порождающей наблюдаемый экспериментально процесс $x(t)$. Структура восстановленного аттрактора, закономерности его эволюции при изменении условий эксперимента или режима функционирования исходной системы также могут использоваться для извлечения информации о системе и, следовательно, для диагностики.

Для анализа специального типа сигналов, представляющих собой некую непериодическую (хаотическую) последовательность временных интервалов $t_{n}, n=1,2, \ldots$, используется метод построения дискретных отображений последования. Такие отображения представляют собой дискретные динамические системы вида $x_{n+1}=f\left(x_{n}, \mu\right)$, где $n-$ дискретное время, $\mu$ – параметр системы. Функция $f\left(x_{n}, \mu\right)$ позволяет по значению переменной в момент времени $n$ получить ее значение на следующем шаге $(n+1)$ итерационной процедуры. Предельное множество фазовых траекторий при $n \rightarrow \infty$ характеризует аттрактор дискретной динамической системы. Свойства этого аттрактора можно описывать всеми вышеперечисленными количественными характеристиками, используя последние в качестве диагностических критериев. Примером такого рода сигналов в биологии и медицине являются последовательности $R R$-интервалов электрокардиограммы (ЭКГ) или последовательности интервалов времени между всплесками электрической активности нейронов (interspike intervals).