Если внимательно присмотреться к окружающей нас природе, то можно, в частности, сделать следующее интересное наблюдение. Жизнь
на планете Земля возможна лишь благодаря тепловому излучению Солнца, которое служит источником энергии. Летом эта энергия в северном полушарии больше, чем зимой. И картина летней природы при этом заметно отличается от зимней. Давайте рассмотрим в качестве примера объем воды в озере. Количественной мерой привносимой солнечной энергии является температура воды (точнее, энергия пропорциональна температуре). Летом вода в озере теплая и можно купаться. $\mathrm{C}$ наступлением осени температура воды постепенно уменьшается. Купаться уже не хочется, однако вода и при более низкой, но плюсовой температуре, остается водой! Глубокой осенью верхний слой воды в озере остывает до нулевой температуры и вдруг превращается в лед! Далее и при $-20^{\circ} \mathrm{C}$ лед остается льдом. Что же произошло? При прохождении температуры через нуль вода резко изменила свои свойства: она из жидкого состояния перешла в твердое. И не плавно, а скачком.

Если рассматривать температуру воды как некий параметр системы, то хорошо известно, что с изменением параметра вода резко меняет свои свойства при переходе через $0^{\circ} \mathrm{C}$, через $100^{\circ} \mathrm{C}$, когда вода превращается в пар. Есть и другие особые значения температуры воды. Оказывается, что большинство интересных физических задач при их математическом описании приводят к дифференциальным уравнениям, зависящим от одного или нескольких параметров.

Рассмотрим в качестве примера уравнения колебаний обыкновенного маятника или (что с математической точки зрения полностью идентично) параллельного $R L C$-контура:
\[
\ddot{x}+\alpha \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 .
\]

Уравнение (2.12) содержит два параметра: $\alpha$ – параметр затухания, характеризующий трение, и $\omega_{0}$ – параметр, определяющий частоту колебаний. Если потери энергии отсутствуют, параметр затухания $\alpha=0$, то решением уравнения (2.12) будут гармонические незатухающие колебания. При малом трении $0<\alpha<1$ движение системы будет колебательным с амплитудой, которая уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Наконец, при достаточно большом трении ( $\alpha>1$ ) движение маятника будет апериодическим, затухающим во времени. Уже в этом простом примере выделяются два особых значения параметра $\alpha=0$ и $\alpha=1$, отклонения от которых качественно меняют свойства системы.

Изменение параметра в уравнении может вызвать потерю устойчивости одного состояния (или режима функционирования) системы и

переход ее в другое, отличное от первого, состояние. Это явление называется бифуркацией (от слова раздвоение), а значение параметра, при котором оно происходит – точкой бифуркации. Состояние системы ниже точки бифуркации и выше ее при изменении параметра все-таки меняется. Ясно, что вода при температуре $+3^{\circ} \mathrm{C}$ и $+22^{\circ} \mathrm{C}-$ это разные состояния. Но при этом вода остается водой! В математике и физике существует понятие грубости или структурной устойчивости. Суть этого понятия в том, что при малом изменении параметра грубая система хоть и изменяет в деталях режим функционирования, но не принципиально. С этой точки зрения для грубых систем переход через точку бифуркации означает смену одного структурно устойчивого режима на другой. При этом в точке бифуркации система не является грубой: малое изменение параметра в ту или иную сторону приводит к резким изменениям состояния.

Давайте вернемся к нашему примеру с устойчивостью стационарных состояний в системе (2.8). Мы условились, что в уравнении (2.8) параметры $a$ и $b$ положительны. Устойчивость определяется знаком производной правой части уравнения (2.8) в стационарной точке, то есть знаком величины $\lambda(2.10)$. При положительных значениях параметров $a$ и $b$ эта производная всегда отлична от нуля. А что если мы будем уменьшать значение параметра $a$ ? Как видно из (2.10) при $a=0$ (независимо от величины $b>0$ ) величина $\lambda$ обращается в нуль, возмущение $y$ не нарастает и не затухает! Мало того, при $a=0$ в системе два состояния равновесия как бы сливаются в одно $(x=0)$ ! Далее, если, $a<0$, то состояний равновесия нет вовсе! Действительно, в этом случае $x_{1,2}^{0}= \pm j \sqrt{\frac{|a|}{b}}$, то есть становятся чисто мнимыми.

Приведем теперь результаты математического анализа этой бифуркации, которая известна как бифуркация \”двукратное равновесие\”. Вновь рассмотрим уравнение (2.8). Пусть $x^{0}(a)$ есть грубое состояние равновесия, то есть $\lambda(a)
eq 0$. Это означает, что при малой вариации параметра $a$ равновесие $x^{0}(a)$ продолжает существовать как устойчивое или неустойчивое.

При некотором значении параметра $a=a^{*}$ собственное число $\lambda\left(a^{*}\right)$ в положении равновесия может обратиться в нуль:
\[
\lambda(a)=\left.\frac{d F}{d x}\right|_{x^{0}}=0, \quad a=a^{*} .
\]

Для реализации бифуркации \”двукратное равновесие\” необходимо, что-

бы вторая производная была отлична от нуля
\[
\left.\frac{d^{2} F}{d x^{2}}\right|_{x^{0}}
eq 0 .
\]

Рис. 2.1. Бифуркация \”двукратное равновесие\”. При $a>0$ в системе (2.8) два стационарных состояния $x_{1}^{0}$ и $x_{2}^{0}$, при $a=0$ они сливаются в одно и при $a<0$ стационарные состояния исчезают.
Для выполнения условий (2.13) и (2.14) в общем случае необходимо, чтобы исходное уравнение в правой части включало как минимум квадратичное нелинейное слагаемое, как в нашем примере (2.8).
Если условия (2.13) и (2.14) выполнены, то $x^{0}$ есть двукратный корень исходного уравнения (2.8).
Значение параметра $a^{*}$, при котором выполняется условие (2.13), является точкой бифуркации. До точки бифуркации $a>a^{*}$ мы имеем 2 состояния равновесия. В точке бифуркации $a=a^{*}$ они сливаются в одно, далее при $a<a^{*}$ состояний равновесия в системе не будет! В нашем случае (2.8) $a^{*}=0$.
Результаты можно представить графически (см. рис. 2.1).