Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью (ГИН) является одной из базовых моделей детерминированного хаоса. Достаточно простая и понятная с радиофизической точки зрения модель ГИН демонстрирует все характерные для квазиаттракторов закономерности, причиной возникновения которых является наличие в системе состояния равновесия типа \”седло-фокус\”. Модель ГИН базируется на классической схеме генератора Теодорчика и в предельных случаях переходит в модель генератора Ван дер Поля.

В классическом генераторе с инерционной нелинейностью Теодорчика автоколебания обеспечиваются введением в колебательный контур термосопротивления $R(T)$, свойства которого нелинейным образом зависят от протекающего через него тока (рис. 6.2).
Уравнение для тока $i(t)$ в контуре имеет вид
\[
\frac{d^{2} i}{d t^{2}}+\left[\frac{R(T)}{L}-\frac{M S_{0}}{L C}\right] \frac{d i}{d t}+\left[\frac{1}{L C}+\frac{1}{L} \frac{\partial R(T)}{\partial T} \frac{d T}{d t}\right] i=0,
\]

где $S_{0}$ – крутизна характеристики усилителя, который предполагается линейным; $M$ – взаимная индуктивность цепи обратной связи; $R(T)$ сопротивление термистора, зависящее от температуры $T ; L$ и $C$ – индуктивность и емкость в колебательном контуре.

Полагая зависимость $R(T)$ линейной $\left(R(T)=R_{0}+L b T\right)$ и считая, что процесс теплообмена подчиняется закону Ньютона:
\[
\rho q \frac{d T}{d t}+k T=R(T) i^{2},
\]

где $q$ – удельная теплоемкость нити термистора, а $\rho$ – ее масса, получаем замкнутую систему уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} i}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} i=(\mu-b T) \frac{d i}{d t}-b i \frac{d T}{d t}, \\
\frac{d T}{d t}+\gamma T=\alpha(T) i^{2},
\end{array}
\]

где $\mu=\omega_{0}^{2} S_{0} M-R_{0} / L ; \quad \omega_{0}^{2}=1 / L C ; \quad \gamma=k / \rho q ; \quad \alpha(T)=\alpha_{0}+b L T / \rho q ;$ $\alpha_{0}=R_{0} / \rho q$. В безразмерных переменных $x=a i, \quad \dot{y}=-x, \quad z=b T / \omega_{0}$, $\tau=\omega_{0} t, \quad a=\sqrt{\alpha b \rho q / \omega_{0} k}$ уравнения (6.5) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=m x+y-x z, \\
\dot{y}=-x, \\
\dot{z}=-g z+z x^{2} .
\end{array}
\]

Здесь $m=\mu / \omega_{0}=\omega_{0} S_{0} M-R_{0} / \omega_{0} L, \quad g=\gamma / \omega_{0}, \quad \dot{x}=d x / d \tau$.
В трехмерной двупараметрической системе (6.6) параметр $m$ пропорционален разности вносимой и рассеиваемой энергий, $g$ – параметр, характеризующий относительное время релаксации термистора. В дальнейшем $m$ будем называть параметром возбуждения, а $g$ – параметром инерционности генератора.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 6.3. Здесь колебательный контур в отличие от классического случая (рис. 6.2) не содержит нелинейных элементов. Усилитель 1 управляется дополнительной цепью обратной связи, содержащей линейный усилитель 2 и инерционный преобразователь. Дифференциальные уравнения генератора можно записать в явном виде, конкретизировав зависимость $S(x, V)$ усилителя 1 и задав уравнения инерционного преобразования $V(x)$.

Аппроксимируем полиномом функцию $S^{1}(x)$, т.е. крутизну усилителя 1 , без учета воздействия дополнительной обратной связи:
\[
S^{1}(x)=S_{0}-S_{1} x^{2},
\]

где $x$ – напряжение на входе усилителя $1 ; S_{0}$ и $S_{1}$ – постоянные положительные коэффициенты. Предположим, что механизм воздействия

Рис. 6.3. Модифицированная схема генератора с инерционной нелинейностью.

цепи инерционной обратной связи подчиняется закономерности
\[
S=S^{1}(x)-b V=S_{0}-S_{1} x^{2}-b V,
\]

где $V=V(x)$ – напряжение на выходе инерционного преобразователя; $b$ – параметр. Пусть инерционное преобразование осуществляется в соответствии с уравнением
\[
\dot{V}=-\gamma V+\varphi(x)
\]

Уравнение для тока в контуре генератора (рис. 6.3)
\[
L d i / d t+R i+C^{-1} \int(i-M S d i / d t) d t=0
\]

совместно с уравнениями (6.8) и (6.9) дает замкнутую систему, сводящуюся в безразмерных переменных к виду
\[
\dot{x}=m x+y-x z-d x^{3}, \quad \dot{y}=-x, \quad \dot{z}=-g z+g \Phi(x),
\]

где $d=d\left(S_{1}\right)$ – параметр, отвечающий степени влияния нелинейности крутизны характеристики; $\Phi(x)$ – функция, описывающая свойства инерционного преобразователя. В генераторе действуют два механизма нелинейного ограничения амплитуды колебаний. Первый – безынерционный и связан с нелинейностью характеристики усилителя, второй инерционный, обусловленный зависимостью крутизны $S$ от напряжения $V$. Пусть усилитель работает на линейном участке характеристики

$\left(S_{1}=0\right)$, а инерционный преобразователь собран по схеме двухполупериодного квадратичного детектора с $R C$-фильтром и описывается уравнением
\[
\dot{z}=-g z+g x^{2} .
\]

Параметр инерционности $g$ равен отношению периода колебаний контура $T_{0}$ к постоянной времени фильтра $\tau_{f}=R_{f} C_{f}$.

При сделанных предположениях уравнения (6.10) переходят в уравнения классического генератора (6.6). Значит, если усилитель 1 линейный, а инерционный преобразователь удовлетворяет (6.11), то математические модели генераторов, схемы которых изображены на рис. 6.2 и 6.3 , неразличимы. Схема с детектором в экспериментальном отношении более удобна, так как позволяет варьировать инерционные свойства генератора регулировкой постоянной времени фильтра, что практически неосуществимо при использовании термистора.

Вид уравнений (6.10) не изменится, если в качестве селективного элемента использовать $R C$-цепочку в виде моста Вина. Для обеспечения условий генерации в этом случае нужно применить два каскада усиления, как это показано на рис. 6.4. Для симметричного моста Вина управляющие параметры $m$ и $g$ в уравнениях (6.10) просто и с точки зрения эксперимента удобным образом выражаются через параметры схемы:
\[
m=K_{0}-3, \quad g=R_{0} C_{0} / \tau_{f},
\]

где $K_{0}$ – коэффициент усиления двухкаскадного усилителя; $R_{0} C_{0}$ и $\tau_{f}$ – постоянные времени моста Вина и фильтра детектора. В физическом эксперименте параметры $m$ и $g$ легко менять, варьируя коэффициент усиления и постоянную времени фильтра. Как показали исследования, динамика генератора, моделируемого уравнениями (6.10), принципиальным образом зависит от вида функции $\Phi(x)$, т.е. от свойств инерционного преобразователя. Если $\Phi(x)$ представляет собой симметричную функцию, то уравнения (6.10) имеют в качестве решения только предельный цикл. Однако если $\Phi(x)$ не является симметричной (например, $\Phi(x)=\exp (x-1)$ ), то модель (6.10) демонстрирует как периодические, так и хаотические режимы колебаний. Более детальные исследования показали, что асимметрия $\Phi(x)$ является необходимым условием для реализации в модели (6.10) особой траектории типа петли сепаратрисы седло-фокуса. Именно наличие особой траектории является фундаментальной причиной рождения режимов детерминированного хаоса.
В качестве примера вида функции $\Phi(x)$, когда модель (6.10) приобретает свойства генератора хаоса, мы выберем
\[
\Phi(x)=I(x) x^{2}, \quad I(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

С физической точки зрения это соответствует использованию однополупериодного детектора в схеме инерционного преобразователя.
Рис. 6.4. Схема $R C$-генератора с инерционной нелинейностью.
Определив функцию $\Phi(x)$ в соответствии с (6.13), из (6.10) получаем уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью, представляющие собой трехмерную трехпараметрическую нелинейную диссипативную систему:
\[
\dot{x}=m x+y-x z-d x^{3}, \quad \dot{y}=-x, \quad \dot{z}=-g z+g I(x) x^{2} .
\]

Исключением переменной $y$ уравнения генератора с инерционной нелинейностью (6.14) приводятся к виду (6.2):
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}-\left(m-z-3 d x^{2}\right) \dot{x}+[1-g z+g \Phi(x)] x=0, \\
\dot{z}=-g z+g \Phi(x) .
\end{array}
\]

Автоматически регулируемый нелинейный осциллятор (6.15) характеризуется инерционной зависимостью диссипации и частоты от переменной $x$. В случае сильной инерционности системы ( $\tau_{f} \gg T_{0}$ ), когда $g \rightarrow 0$, система вырождается в двумерную:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}-a\left(1-b x^{2}\right) \dot{x}+x=0, \\
a=m-z_{0}, \quad b=3 d /\left(m-z_{0}\right), \quad z_{0}=z(0),
\end{array}
\]

и независимо от вида функции $\Phi(x)$ совпадает по форме записи с уравнениями генератора Ван дер Поля.

Другой асимптотический случай – безынерционный генератор, соответствующий стремлению параметра $g$ в бесконечность. Из третьего уравнения системы при этом условии следует алгебраическая взаимосвязь переменных $x$ и $z$, сводящая исходную систему к виду
\[
\ddot{x}-\left[m-\Phi(x)-3 d x^{2}\right] \dot{x}+x=0 .
\]

Полная аналогия с уравнением Ван дер Поля в этом предельном случае достигается при условии $\Phi(x)=x^{2}$. В реальном генераторе с инерционной нелинейностью область значений параметра инерционности $g$, в которой система ведет себя принципиально как трехмерная, ограничена некоторым интервалом $g_{1} \leqslant g \leqslant g_{2}$. За его пределами приближенным описанием могут служить рассмотренные асимптотические уравнения на фазовой плоскости.

Математическая модель модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (6.14) есть нелинейная трехмерная диссипативная система с тремя независимыми параметрами, задающая поток в $\mathbf{R}^{3}$ :
\[
-\infty<x<\infty, \quad-\infty<y<\infty, \quad 0 \leqslant z<\infty,
\]

где переменная z определена на положительной полуоси, так как с физической точки зрения представляет собой продетектированное напряжение $x(t)$ на выходе фильтра. Дивергенция векторного поля скоростей потока (6.14) зависит от параметров и фазовых координат:
\[
\operatorname{div} \mathbf{F}=m-g-3 d x^{2}-z .
\]

Исследования в квазилинейном приближении $m<g \ll 1$ свидетельствуют о том, что система глобально диссипативна и что для любых начальных данных из области определения фазовых переменных всегда справедливо $\operatorname{div} \mathbf{F}<0$. В квазилинейном приближении $z \approx m$ и независимо от координаты $x$ дивергенция отрицательна. При $m>g$, где $g$ – конечно (наиболее интересная область генерирования нелинейных колебаний), знак дивергенции зависит от координат. Условием диссипативности является
\[
m-g<z+3 d x^{2} .
\]

Для автоколебаний при $d

eq 0$ это условие всегда выполняется. В этом смысле параметр $d$ определяет безынерционную диссипативную нелинейность системы. Если же усилитель работает на линейном участке характеристики и нелинейное ограничение амплитуды за счет инерционной цепи обратной связи наступает раньше, чем значения перемен-

ной $x$ выходят в область нелинейности характеристики $S(x)$, то выражение (6.19) принимает вид
\[
m-g<z(\tau) .
\]

Последнее неравенство разделяет фазовое пространство системы на две области плоскостью $z=z^{0}=m-g$. Для $z>z^{0}$ система диссипативна, для $z<z^{0}$ фазовый объем в локальной окрестности любой траектории системы расширяется. Стационарные режимы автоколебаний реализуются в том случае, когда подкачка энергии и ее расход в среднем по времени компенсируются, что возможно при условии
\[
m-g<\bar{z},
\]

где $\bar{z}-$ среднее по времени значение переменной $z(\tau)$. Для достаточно больших $m(m>1)$ неравенство (6.21) может не выполняться и траектории системы будут уходить в бесконечность, если диссипативная нелинейность отсутствует $(d=0)$.

Система (6.10) характеризуется единственной особой точкой в начале координат. Если функция $\Phi(x)$ не содержит линейных по $x$ членов, линеаризация системы в особой точке приводит к характеристическому полиному
\[
(g+s)\left(s^{2}-m s+1\right)=0,
\]

собственные значения которого есть
\[
s_{1,2}=m / 2 \pm(i / 2) \sqrt{4-m^{2}}, \quad s_{3}=-g .
\]

В области параметров $g>0,-2<m<0$ действительные части всех собственных значений отрицательны и особая точка устойчива. С физической точки зрения параметр $g$ всегда положителен. Параметр $m$ может быть как меньше нуля (генератор недовозбужден), так и больше нуля (в режимах генерации). В области $0<m<2$ особая точка есть седло-фокус с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями (6.23). Линия $m=2$ бифуркационная, и она отвечает смене седло-фокуса на седло-узел.

Как следует из (6.23), в системе (6.10) имеется уникальная возможность независимого управления свойствами устойчивого и неустойчивого многообразий. В режиме генерации ( $m>0$ ) состояние равновесия характеризуется двумерным неустойчивым многообразием и одномерным устойчивым, что определяется независимыми параметрами $m$ и $g$.

Как видно из (6.23), в бифуркационной точке $m=0$ собственные значения $s_{1,2}$ пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью:
\[
\partial \operatorname{Res}_{1,2}(m) /\left.\partial m\right|_{m=0}=1 / 2 .
\]

При этом третье собственное значение $s_{3}=-g$ отделено от мнимой оси. Реализуется классическая бифуркация Андронова-Хопфа: бифуркация рождения цикла из седло-фокуса.