Рассмотрим конкретный пример применения описанного алгоритма. С этой целью используем известную динамическую систему Ресслера, описывающую режим непериодических колебаний:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-(y+z), \\
\frac{d y}{d t}=x+a y, \\
\frac{d z}{d t}=b+z(x-c) .
\end{array}
\]

Рис. 10.1. Временная зависимость координаты $y$ системы Ресслера (9.13).
При значениях параметров $a=0.15, b=0.2, c=10.0$ система (9.13) характеризуется режимом хаотического аттрактора.

Используем в качестве одномерного временного ряда $a_{i}$ зависимость во времени одной из координат $y(i \Delta t)$, полученную численным интегрированием уравнений (9.13). Будем считать, что вид системы (9.13) и ее размерность нам неизвестны. Наблюдаемая $a(t)=y(t)$, заданная на конечном интервале времени $0 \leqslant t \leqslant 100$, представлена на рис. 10.1.

Для задания вектора состояния реконструированной системы воспользуемся теоремой Такенса (9.2). Рассчитывая по наблюдаемой $a(t)$ автокорреляционную функцию, находим время спадания ее до нуля $\tau_{0} \approx 1.6$ и используем эту величину в качестве времени задержки в (9.2). На рис. 10.2 представлена проекция реконструированного аттрактора на плоскость двух переменных: $x_{1}(t)=y(t)$ и $x_{2}(t)=y(t+\tau)$.
Рис. 10.2. Реконструированный аттрактор в проекции на плоскость $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, где $x_{1}(t)=y(t)$, $x_{2}(t)=y(t+\tau)$. Время задержки определялось как время достижения первого нуля автокорреляционной функции (что соответствует приблизительно $1 / 4$ базового периода колебаний).
риода колебаний).

Рис. 10.3. Результаты расчета корреляционной размерности (при варьировании размерности пространства вложения $n$ ). Получено значение $D_{c} \approx 1.9$ (соответствующее \”полочке\”). Данное значение позволяет в принципе ограничиться 3мерным пространством для вложения аттрактора и, соответственно, ограничиться системой 3 -х ОДУ 1 -го порядка при моделировании.

Для определения размерности модельной системы нужно рассчитать размерность аттрактора и размерность пространства вложения. Для оценки размерности аттрактора вычислим его корреляционную размерность $D_{c}(9.5)$, используя специальные алгоритмы. На рис. 10.3 приведены результаты расчета зависимости $D_{c}$ от $\lg \epsilon$, где $\epsilon$ – размер ячейки разбиения фазового пространства. Как видно из графиков, вне зависимости от размерности пространства вложения $n$ имеется \”полочка\” на уровне $D_{c} \approx 1.9$, который и принимаем за значение искомой размерности.
Таким образом, реконструируемый аттрактор имеет размерность $D \approx 2$ и может быть \”вложен\” в трехмерное фазовое пространство. Это означает, что мы можем искать модельную ДС в виде системы ОДУ третьего порядка ( $n=3$ ). Искомую систему запишем в виде (9.11), используя полиномиальную аппроксимацию (9.9) и ограничившись значением $
u=2$. Результаты расчетов коэффициентов, определяющих вид правых частей уравнений (9.11) для $n=3$ и $
u=2$, приведены в таблице.

В результате процедуры реконструкции ДС по одномерному временному ряду мы получили трехмерную ДС вида (9.11) с коэффициентами, приведенными в таблице. Теперь проведем сравнение результатов, которые можно получить, интегрируя как тестовую модель (9.13), так и модельную ДС (9.11). Результаты интегрирования модельной ДС (9.11) представлены на рис. 10.4 в виде зависимости $x_{1}(t)$. Сравнение данных рис. 10.4 с данными рис. 10.1 показывает качественное сходство реального и модельного колебательных процессов. Однако важным, конечно, являются количественные соответствия. Возможно ли с помощью реконструированной системы осуществить прогноз эволюции системы во времени за пределами интервала, на котором нам известна наблюдаемая? С этой целью проведем следующий эксперимент. Возьмем в качестве начального значения координату последней точки наблюдаемой

Таблица
Коэффициенты аппроксимации нелинейностей в случае полиномиального представления функций $F_{j}(9.9)$. Параметры реконструкции $n=3,
u=2$. Для реконструкции аттрактора используется метод последовательного дифференцирования (9.7). Величины $l_{j}$ обозначают степени переменных состояния $x_{i}$ в правых тастях системы (9.11).
(рис. 10.1) в момент времени $t_{0}=100$. Далее проинтегрируем как исходную, так и модельную системы с начальными условиями при $t=t_{0}$ и сравним результаты для $t>t_{0}$. На рис. 10.5 приведены соответствующие графики зависимостей $y(t)$ для тестовой системы (9.13) и $x_{1}(t)$ для реконструированной ДС. Как следует из рис. 10.5, прогноз эволюции системы во времени осуществляется с некоторой ошибкой, которая со временем нарастает. Конкретное время прогноза можно указать, задав точность предсказания. Из результатов рис. 10.5 следует, что если ограничиться ошибкой $\pm 5 \%$, то время предсказания в нормированных единицах будет составлять примерно $T=12.0$, то есть около двух базовых квазипериодов колебаний системы.
Рис. 10.4. Зависимость $x_{1}(t)$, полученная численным интегрированием реконструированной системы.