Мы установили, что в диссипативных системах, размерность фазового пространства которых $N \geqslant 3$, теоретически возможен режим сложных непериодических пульсаций. Этот тип движения детерминирован и характеризуется неустойчивостью. $\mathrm{K}$ чему это приводит? Давайте рассуждать. Вначале поговорим об устойчивых режимах движения в детерминированных диссипативных динамических системах.

Рассмотрим в качестве начального состояния не точку с определенными координатами в пространстве состояний $\mathbf{x}^{0}$, а малую сферу радиуса $\epsilon>0$, окружающую эту точку. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от $\mathbf{x}^{0}$. Сфера включает совокупность возможных отклонений от исходного состояния, не превышающих по модулю $\epsilon$. Теперь применим оператор эволюции и проследим за трансформацией этой сферы. В силу устойчивости выбранного нами режима любое малое отклонение во времени должно затухать! Это означает, что под действием детерминированного закона эволюции шарик радиуса $\epsilon$ во времени будет сжиматься и при $t \rightarrow \infty$ его радиус уменьшится до нуля! Сказанное выше иллюстрирует рис. 3.3. Исходный фазовый объем в диссипативных системах во времени уменьшается. Это означает в данном случае, что малые возмущения в итоге будут затухать и система вновь вернется в исходный режим, который является устойчивым.

А если исходный режим неустойчив? Что будет в этом случае? Фазовый объем может увеличиваться до бесконечности, если неустойчивая система линейна. Но если система нелинейна и диссипативна, то процесс эволюции начального малого фазового объема будет весьма нетривиальным. Попытаемся это понять.

Неустойчивость режима ведет к росту возмущений. Это одно обстоятельство. Второе – диссипативные системы вне зависимости от вида устойчивости вызывают уменьшение элемента фазового объема во времени до нуля, что связано с потерями энергии. Как совместить эти два фактора? Существует единственное ре-
Рис. 3.3. Сжатие первоначальной области неопределенности 1 во времени в случае, когда цикл $\Gamma$ является устойчивым предельным режимом. шение этой дилеммы: элемент фазового объема по некоторым направлениям должен растягиваться, а по другим сжиматься. Причем, степень сжатия в среднем должна обязательно превалировать над степенью расширения, чтобы в итоге фазовый объем во времени уменьшался! В нелинейных диссипативных системах это оказывается возможным. Вышесказанное иллюстрирует рис. 3.4. В силу наличия механизма нелинейного ограничения фазовая траектория сложного режима колебаний сосредоточена в ограниченной области фазового пространства (см. рис. 1.6). При этом любая малая окрестность исходного начального состояния эволюционирует так, как показано на рис. 3.4 , и в итоге перемешивается по всей области, занятой траекторией. Этот процесс весьма трудно представить себе наглядно.

Проведем мысленный эксперимент. В стакан с водой поместим маленькую чаинку и размешаем воду чайной ложкой, вызвав неустойчивость. Чаинка будет при этом двигаться по сложной спиралеобразной траектории, которая обусловлена движением воды в стакане. При этом в любой заданный момент времени мы теоретически можем зафиксировать ее координаты $\mathbf{x}(t)$ в объеме воды! Теперь вместо чаинки поместим в стакан с водой очень маленькую капельку чернил и вновь размешаем воду чайной ложкой. Что при этом произойдет? Чернила практически

Рис. 3.4. Эволюция малого первоначального фазового объема 1 во времени в системе со странным аттрактором, иллюстрирующая перемешивание. Исходный объем 1 сжимается по одним и растягивается по другим направлениям $(2,3,4)$, изгибается $(5,6)$, \”складывается\” $(7,8)$ и в итоге перемешивается по аттрактору (9).

равномерно разбегутся по всему объему воды, слегка окрасив ее! Частички чернил, первоначально сосредоточенные в маленьком объеме капельки, спустя время перемешивания можно будет обнаружить в любой части объема воды в стакане! В жизни этот процесс мы привыкли называть перемешиванием. В математике это понятие также существует и, с точки зрения физической интерпретации, оказывается весьма близким по смыслу. Действительно, поток воды в стакане, созданный движением чайной ложки, можно интерпретировать как действие детерминированного эволюционного оператора динамической системы. Чаинка при этом будет двигаться по сложной, но детерминированной (хотя и очень запутанной) траектории. А капелька чернил, которую можно интерпретировать как некий маленький объем в фазовом пространстве вокруг
чаинки, под действием оператора эволюции перемешается по всему объему воды!