С явлением резонанса мы знакомимся в раннем детстве, раскачивая качели. Если частота внешней силы $f_{1}$, действующей на колебательную систему, совпадает с ее собственной частотой $f_{0}$, то отклик системы на периодическое воздействие возрастает: качели замечательно раскачиваются. Зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней силы $f_{1}$ имеет максимум при $f_{1}=f_{0}$.

Свойство резонанса в диссипативных колебательных системах используется для создания устройств и систем, совершающих незатухающие периодические колебания (автоколебания). В отличие от просто колебаний, амплитуда и частота автоколебаний в некоторых пределах не зависят от начальных условий и целиком определяются свойствами системы. При воздействии внешней периодической силы на автоколебательную систему наблюдаются явления синхронизации. Эффект заключается в том, что частота автоколебательной системы подстраивается под частоту внешней периодической силы, происходит захват частоты, причем совпадение частот наблюдается в конечной области изменений параметров системы, чему соответствует область синхронизации на плоскости параметров. Явление синхронизации имеет место и при взаимодействии автоколебательных систем. В этом случае захватываются частоты парциальных подсистем.

Основная картина СР может быть описана на примере движения частицы в двухъямном симметричном потенциале $U(x)$ с большим трением под действием двух сил: стохастической $F(t)$ (шум) и периодической $A \cos \left(2 \pi f_{0} t\right)$ (сигнал) $[18,19]$. В отсутствие сигнала и шума система имеет два устойчивых состояния равновесия $x_{1}$ и $x_{2}$, соответствующих минимумам потенциала в ямах, и неустойчивое, соответствующее максимуму потенциальной энергии $x_{0}$ (см. рис. 8.1). В модели климатических изменений, с которой началась история $\mathrm{CP}$, одно устойчивое состояние

Рис. 8.1. Профиль бистабильного потенциала.

соответствует нормальному климату, а второе – ледниковому периоду. В зависимости от начальных условий частица попадет в одно из двух устойчивых состояний равновесия. Из-за большого трения колебательные движения в системе невозможны. Наличие случайной силы приводит к случайным вибрациям внутри потенциальной ямы. Когда случайная сила принимает большие значения, частица может преодолеть потенциальный барьер $\Delta U$ и перескочить в другую яму. При малой интенсивности шума большие значения случайной силы действуют крайне редко и перескоки частицы из ямы в яму также будут редки. Таким образом, при малых интенсивностях шума $D<\Delta U$ динамика частицы включает движения двух типов: быстрое (флуктуации внутри потенциальных ям) и медленное (представленное перескоками из одной ямы в другую). Времена нахождения частицы в той или другой потенциальной яме являются случайными, а среднее время жизни частицы в потенциальной яме $\langle T\rangle$ подчиняется закону Аррениуса, выражающемуся в экспоненциальной зависимоти от величины потенциального барьера $\Delta U$ и интенсивности шума $D:\langle T\rangle \propto e^{\Delta U / D}$. Чем выше потенциальный барьер и ниже уровень шума, тем дольше (экспоненциально дольше!) частица будет флуктуировать в потенциальной яме. Данная система не имеет собственной детерминированной частоты, однако существует характерный временной масштаб, статистическая величина $\langle T\rangle$ и свя-
занная с ней средняя частота переключений $f_{s}=\frac{1}{2\langle T\rangle}$, играющая роль собственной частоты. Эта величина экспоненциально чувствительна к изменению уровня шума, то есть контролируется шумом. Включим в рассмотрение слабый периодический сигнал. \”Слабый\” означает, что амплитуда периодической силы мала настолько, что сигнал сам по себе не может перебросить частицу из одной потенциальной ямы в другую, а приводит лишь к периодической модуляции потенциала. Сигнал вносит периодическую компоненту в случайный процесс перескоков частицы. Если средняя частота перескоков совпадает с частотой периодического сигнала, $f_{s}=f_{0}$, то процесс перескоков в среднем будет следовать фазе периодической силы. Наблюдается существенный рост отклика бистабильной системы на периодическое возмущение, то есть наблюдается резонансное явление. Фундаментальное отличие этого эффекта от классического резонанса в том, что в нашем случае система сама по себе не имеет собственной детерминированной частоты, а обладает лишь контролируемой шумом средней частотой перескоков. Поэтому это явление было названо стохастическим резонансом. СР, таким образом, является обобщением классического явления резонанса на случай систем, обладающих характерным временным масштабом, управляемым шумом. Теоретические и экспериментальные исследования показали, что при малых амплитудах и низких частотах сигнала отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio, SNR), чаще всего используемое для количественной оценки $\mathrm{CP}$, описывается формулой $S N R \propto\left(\frac{A \Delta U}{D}\right)^{2} e^{-\Delta U / D}$. Качественная зависимость $S N R$ от интенсивности шума схематически показана на рис. 8.2. С увеличением уровня шума $D$ отношение сигнал/шум растет, достигает максимального значения при оптимальном уровне шума, который соответствует резонансному условию, и затем убывает.

Сейчас известно, что СР наблюдается не только в бистабильных системах, но и в более сложных системах, например в системах с динамическим хаосом [4], и в более простых системах. Особенно интересны и перспективны приложения СР в биологии. В ряде работ [18] было показано, что СР может быть использован для объяснения феномена распознавания биологическими объектами чрезвычайно слабых сигналов, практически скрытых в шумовом окружении. Простейшая модель нейрона, который является \”проводником\” информации в живых объектах, представляет собой бистабильную систему с двумя устойчивыми состояниями, соответствующими невозбужденному и возбужденному (\”горящему\”) нейрону. За счет эффекта СР чувствительность такой системы к малым зашумленным сигналам может быть повышена в десятки и сотни раз!

Рис. 8.2. Зависимость SNR (произвольные единицы) от интенсивности шума $D . \Delta U=1 / 4$.