Изменение во времени состояния автономной динамической системы описывается либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой дискретных отображений:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\dot{x}_{i}=f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, \mu_{1}, \ldots, \mu_{k}\right)
\]

или
\[
\begin{aligned}
x_{n+1}^{i} & =f_{i}\left(x_{n}^{1}, x_{n}^{2}, \ldots, x_{n}^{N}, \mu_{1}, \ldots, \mu_{k}\right), \\
i & =1,2, \ldots, N .
\end{aligned}
\]

Здесь $x_{i}(t)$ (или $x_{n}^{i}$ ) — переменные, однозначно описывающие состояние системы (ее фазовые координаты); $\mu_{l}(l=1,2, \ldots, k)$ — параметры системы; $f_{i}(x, \mu)$ — в общем случае нелинейные функции. Решение системы (4.1) существует, единственно для данных начальных условий $x_{i}(0)$ (или $x_{0}^{i}$ ) и гладко зависит от изменения начального состояния (теорема Коши).

Будем говорить исключительно об автоколебательных режимах движения системы (4.1). Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, характеристики которых не зависят в определенных пределах от выбора начального состояния. В качестве предельного случая сюда же мы отнесем и режим устойчивого состояния равновесия.

Обратимся к фазовому пространству $\mathbf{R}^{N}$ системы (4.1), зафиксировав значения всех параметров системы $\mu_{k}$. Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область $G_{1}$, принадлежащая $\mathbf{R}^{N}$, которая включает в себя подобласть $G_{0}$. Области $G_{1}$ и $G_{0}$ удовлетворяют следующим условиям:
1) для любых начальных условий $x_{i}(0)$ (или $x_{0}^{i}$ ) из области $G_{1}$ при $t \rightarrow \infty$ (или $n \rightarrow \infty$ ) все фазовые траектории рано или поздно достигают области $G_{0}$;
2) область $G_{0}$ представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы;
3) если фазовая траектория принадлежит области $G_{0}$ в момент времени $t=t_{1}\left(n=n_{1}\right)$, то она будет принадлежать $G_{0}$ всегда, то есть для любых $t \geqslant t_{1}\left(n>n_{1}\right)$ фазовая траектория будет находиться в области $G_{0}$.

Если эти условия выполняются, то область $G_{0}$ называется аттрактором динамической системы (4.1). Другими словами, аттрактор $G_{0}-$

это инвариантное относительно закона (4.1) минимальное предельное множество траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из области $G_{1}$, охватывающей $G_{0}$. Область $G_{1}$ называется областью (или бассейном) притяжения аттрактора $G_{0}$. В области $G_{1}$ могут существовать исключительно переходные, нестационарные типы движений. Предельное множество $G_{0}$ отвечает установившимся (предельным) типам движения.