Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
До открытия детерминированного хаоса было известно всего три типа устойчивых установившихся решений динамической системы (4.1): состояние равновесия, когда после переходного процесса система достигает стационарного (не меняющегося во времени) состояния, устойчивое периодическое решение и устойчивое квазипериодическое решение. Соответствующими аттракторами дифференциальной системы в этих случаях являются: точка в фазовом пространстве, предельный цикл и предельный $n$-мерный тор. Сигнатура спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) фазовой траектории в этих случаях будет [3]:
\[
\begin{array}{l}
\text { \” – \”,\” – \”, ..,\” – \” – состояние равновесия, } \\
\text { \” } 0 \text { \”,\” – \”,\” – \”,…,\” – \” – предельный цикл, } \\
\underbrace{00, \” 0 \”, \ldots, \” 0}_{n} \”, \”-\”, \ldots, \”-\”-n \text {-мерный тор, } n \geqslant 2 \text {. } \\
\end{array}
\]
Непериодическим решениям системы (4.1) могут соответствовать странные хаотические аттракторы сложной геометрической структуры, которые имеют, по крайней мере, один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную размерность, определяемую по формуле Каплана-Йорка [3]:
\[
D=j+\frac{\sum_{i=1}^{j} \lambda_{i}}{\left|\lambda_{j+1}\right|},
\]
где $j$ – наибольшее целое число, для которого $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{j} \geqslant 0$. Ляпуновская размерность $D$, рассчитанная по формуле (4.2), представляет собой одну из фрактальных размерностей множества и служит оценкой снизу для метрической размерности аттрактора. Если применить фор-
мулу (4.2) к указанным трем типам аттракторов, то мы получим нулевую размерность для точки, $D=1$ – для предельного цикла и $D=n-$ для $n$-мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность строго совпадает с метрической размерностью аттракторов. То обстоятельство, что указанные типы решений являются асимптотически устойчивыми, а размерность $D$ дается целым числом и строго совпадает с метрической, позволяет назвать указанные типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных условий исключает аттрактор из класса регулярных. Как стало ясным, нерегулярные (хаотические) аттракторы требуют введения специальной классификации $[4,15]$.
