Геометрическое представление колебаний.

Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования фазовых траекторий динамической системы был введен в теорию колебаний Л.И. Мандельштамом и A.A. Андроновым и с тех пор стал привычным инструментом при исследовании самых различных колебательных явлений.

Обсудим несколько простых, но типичных примеров представления динамических процессов в виде траекторий изображающей точки в фазовом пространстве.

Консервативный осциллятор.

Рассмотрим линейный осциллятор без потерь, уравнения которого можно сформулировать на при-

Рис. 1.2. $a$ — колебательный контур, моделируемый уравнениями (1.16); б — фазовый портрет колебаний при заданном уровне энергии.

мере колебательного $L C$-контура (рис. 1.2,a), предположив амплитуду колебаний достаточно малой. Выбрав в качестве переменной заряд $q$ на конденсаторе, с помощью уравнений Кирхгофа получим
\[
\ddot{q}+(L C)^{-1} q=0 .
\]

Домножив (1.13) на $L \dot{q}$, получаем:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{L \dot{q}^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{2 C}\right)=0,
\]

то есть для любого момента времени выполняются равенства
\[
E=E_{L}+E_{C}=\mathrm{const}, E_{L}=L \dot{q}^{2} / 2, E_{C}=q^{2} / 2 C,
\]

отражающие постоянство во времени полной энергии осциллятора (суммы магнитной $E_{L}$ и электрической $E_{C}$ энергий). В более удобных координатах уравнения консервативного осциллятора можно записать следующим образом, введя замену времени $\tau=t / \sqrt{L C}$ :
\[
\ddot{x}+x=0, \quad \dot{x}^{2}+x^{2}=a^{2}, a=\text { const. }
\]

Для фазовых координат $x_{1}=x$ и $x_{2}=\dot{x}$ запишем уравнения в виде
\[
\dot{x}_{1}=x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=-x_{1}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2} .
\]

Фазовый портрет системы (1.17) представляет собой окружность радиуса $a$ с центром в начале координат. Точка в фазовом пространстве, в

которой вектор фазовой скорости обращается в нуль, называется особой, и в данном случае нуль координат есть особая точка типа центр.

Наличие интеграла движения у консервативной системы 2-го порядка, отражающее в данном примере факт сохранения энергии (1.15), дает возможность описать ее с помощью уравнения 1-го порядка. Действительно, определив новую переменную $\varphi$ соотношениями
\[
x_{1}=a \cos \varphi, x_{2}=a \sin \varphi,
\]

получим уравнения
\[
\dot{\varphi}=1, \quad \dot{a}=0,
\]

которые и представляют закон движения фазовой точки. Во времени эволюционирует одна переменная $\varphi$, и фазовое пространство консервативного осциллятора, таким образом, одномерно. Гармоническим колебаниям осциллятора отвечает равномерное движение изображающей точки по окружности радиуса $a$, как это показано на рис. 1.2,б.

Если консервативная система нелинейна, то ее фазовый портрет усложняется. Проиллюстрируем это на примере уравнения
\[
\ddot{x}+\sin x=0 .
\]

В фазовых переменных $x_{1}=x, x_{2}=\dot{x}$ уравнение (1.20) записывается следующим образом:
\[
\dot{x}_{1}=x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=-\sin x_{1} .
\]

Рис. 1.3. Фазовый портрет осциллятора (1.20).

Состояния равновесия нелинейного маятника на фазовой плоскости расположены вдоль оси $x_{1}\left(x_{2}=0\right)$ в точках $x_{1}=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \ldots$ Соответствующий фазовый портрет системы представлен на рис. 1.3. Видно, что особые точки $x_{1}=0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \ldots$ — типа центр, а $x_{1}= \pm \pi, \pm 3 \pi, \ldots$. — неустойчивые точки типа седло.

Вблизи центров фазовый портрет соответствует линейному осциллятору: траектории представляют собой замкнутые кривые, близкие к окружностям, отражающим характер малых по амплитуде колебаний, близких к гармоническим. Через неустойчивые точки проходят особые интегральные кривые $\Gamma_{0}$, называемые сепаратрисами седла. Они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движения вне сепаратрис). Ситуация, когда энергия маятника соответствует движению по сепаратрисе, называется негрубой. Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.

Как видно из рис. 1.3, состояние маятника определяется углом его отклонения от положения равновесия $x_{1}$ и скоростью $x_{2}$, но для значений $x_{1}$, отличающихся на целое число $2 n \pi$, динамика системы идентична. Поэтому плоскость переменных $x_{1}, x_{2}$ не является, строго говоря, фазовой плоскостью системы в силу отсутствия однозначности. Пока речь идет о движениях, изображающие ‘траектории которых лежат внутри сепаратрисного контура, то есть о колебаниях в окрестности центра, неясностей не возникает. Но в случае, если энергия системы превышает критическое значение и движение становится вращательным, фазовая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмотрение вводят цилиндрическое фазовое пространство [6].

Линейный осциллятор с затуханием.

Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, когда силы трения действуют по всем степеням свободы, а поступление энергии извне отсутствует. Рассмотрим процессы в линейном диссипативном осцилляторе, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление $R$. Уравнение контура
\[
L \ddot{q}+R \dot{q}+q / C=0
\]

заменой переменных сводится к безразмерной форме
\[
\ddot{x}+2 \delta \dot{x}+x=0, \quad 2 \delta=R \sqrt{L / C}, \tau=t / \sqrt{L C} .
\]

При $\delta=0$ имеем консервативный линейный осциллятор, рассмотренный выше. Введение малого трения качественно меняет фазовый портрет системы. Для $0<\delta<1$ решением уравнения (1.23) является
\[
x=A e^{-\delta \tau} \cos (\omega \tau+\psi), \omega=\left(1-\delta^{2}\right)^{1 / 2},
\]

где $A$ и $\psi$ — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. На фазовой плоскости для любых начальных данных имеют место скручивающиеся спирали, по которым фазовые точки асимптотически приближаются к началу координат, характеризуя затухающий колебательный процесс. Нуль координат является особой точкой системы, которая в случае $\delta<1$ есть устойчивый фокус (рис. 1.4,a). Если коэффициент трения $\delta>1$, процесс в системе апериодический:
\[
x=A_{1} e^{\lambda_{1} \tau}+A_{2} e^{\lambda_{2} \tau}, \quad \lambda_{1,2}=\left[-\delta \pm\left(\delta^{2}-1\right)^{1 / 2}\right] / 2,
\]

и фазовые траектории имеют вид семейства характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат (рис. 1.4,б). Особая точка в указанных условиях является устойчивым уз.лом.

Рис. 1.4. Фазовый портрет диссипативного осциллятора (1.23) с параметром $\delta<1$ (a) и $\delta>1$ (б).

Итак, при любых значениях физических параметров системы, когда $\delta>0$, диссипативный маятник характеризуется единственным глобально устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат.

Независимо от выбора начальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение. При $t \rightarrow \infty$ любая (!) изображающая точка стремится к нача.у координат в устойчивый фокус либо узел.

Описанное свойство является общим для динамических систем с полной диссипацией энергии. Положения равновесия типа устойчивого фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том смысле, что фазовые траектории из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся. Стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах оказываются невозможными. С физической точки зрения это понятно — нет условий поддержания колебаний. Энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется.