Важнейший метод исследования эволюционных процессов в естествознании состоит в построении математических моделей изучаемых систем и их анализе. Как сказал один из великих мыслителей прошлого века, любое утверждение истинно настолько, насколько оно базируется на математике. Наличие математической модели исследуемой системы существенно расширяет возможности ее изучения, позволяя решать задачи предсказания поведения системы во времени и зависимости режимов ее функционирования от параметров. Таким образом, одной из центральных является задача математического моделирования, решение которой дает возможность осуществления научного прогноза функционирования системы во времени, являющегося одной из главных проблем в естествознании.

Решение задачи моделирования теоретически не содержит проблем, если реальная система задана. Хорошо известный пример – колебательный $L C$-контур. На основе знания схемы контура и электрических законов не представляет труда записать основополагающие соотношения и получить уравнения классического осциллятора:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \omega_{0}^{2}=1 / L C .
\]

Решением уравнения (9.1) является гармонический колебательный во времени процесс, частота которого определяется параметрами контуpa $L$ и $C$. При заданных начальных условиях $x\left(t_{0}\right)$ и $\dot{x}\left(t_{0}\right)$ состояние системы (9.1) будет однозначно известно для любого времени $t \geqslant t_{0}$.

Однако очень часто приходится сталкиваться с более сложной ситуацией, когда детальные сведения о реальной системе либо отсутствуют вовсе, либо явно недостаточны. Единственная информация о свойствах системы содержится лишь в экспериментальной зависимости одной из координат состояния системы во времени. Такая зависимость $a(t)$, измеренная в течение конечного времени $t_{0}$, называется наблюдаемой (или реализацией) системы, а при дискретизации с шагом $\Delta t: a(i \Delta t)=a_{i}$, $i=1, \ldots, N ; N=\left[t_{0} / \Delta t\right]$, она носит название одномерного временного $p я д a$. Делается предположение о том, что наблюдаемая $a(t)$ является детерминировано определенной, то есть представляет собой одномерную проекцию фазовой траектории, порождаемой некоторой динамической системой (ДС). Задачей реконструкции динамической системы является восстановление модельной ДС, решение которой с известной степенью точности воспроизводит одномерную наблюдаемую $a(t)$ на заданном интервале времени $t_{0}$ и для $t>t_{0}$. Проблема реконструкции ДС,

таким образом, относится к классу обратных задач, решение которых не может быть однозначным.

В рамках настоящей лекции мы ограничимся рассмотрением проблемы восстановления (реконструкции) ДС в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или дискретных отображений по одномерному временному ряду. Важно при этом не забывать, что временной ряд $a(i \Delta t)$ предполагается детерминировано определенным, то есть отражает эволюционный процесс реальной ДС, управляемой детерминированными динамическими законами. Естественно, что такое предположение сужает класс рассматриваемых сигналов. В частности, если временной ряд есть следствие абсолютно случайного (шумового) процесса, то говорить о реконструкции не имеет смысла $[4,25]$.

Попытаемся понять основные проблемы, с которыми связано решение задачи реконструкции. Первая обусловлена необходимостью введения каким-либо образом координат состояния системы. Ведь нам известна зависимость во времени (на конечном интервале!) лишь одной из координат реальной системы $a(t)$. Как ввести новые координаты и сколько их должно быть? Какова размерность ДС, которую мы хотим восстановить?

Предположим, что нам удалось как-то решить эту проблему и мы знаем размерность $n$ модельной ДС. Сразу возникает второй, не менее важный вопрос: как записать сами уравнения? Каков вид модельного оператора эволюции, который в случае ОДУ определяется правыми частями системы $n$ дифференциальных уравнений первого порядка? Дать обоснованные ответы на эти два вопроса по сути дела и есть содержание раздела теории динамических систем, рассматривающего проблему реконструкции ДС по одномерным временным рядам.

В 1980 г. была опубликована работа Н. Пакарда, в которой показано, что фазовый портрет динамической системы может быть восстановлен по скалярному временному ряду $a_{i}$ : если в качестве недостающих координат вектора состояния используется тот же самый ряд $a_{i}$, взятый с некоторым запаздыванием. В 1981 г. была доказана теорема, утверждающая, что по одномерной реализации $a(t)$ ДС, обладающей аттрактором $A$, принадлежащим гладкому $d$-мерному многообразию, методом задержки можно получить $n$-мерную реконструкцию $A_{R}$ исходного аттрактора как множество векторов $\vec{x}(t)$ в $R^{n}$ при $n \geqslant 2 d+1$ (теорема Такенса):
\[
\begin{aligned}
\vec{x}(t)=\Lambda_{n}(a(t)) & =(a(t), a(t+\tau), \ldots, a(t+(n-1) \tau))= \\
& =\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Согласно теореме, отображение $\Lambda_{n}: A \rightarrow A_{R}$ является гладким и обратимым на $A_{R}$ почти при любой задержке $\tau$ (если $N \rightarrow \infty$ ).

Попытаемся разобраться в содержании теоремы Такенса. Она обосновывает введение в качестве новых координат состояния системы значений одномерного временного ряда $a(i \Delta t)$, взятых через некоторый интервал времени $\tau$ :
\[
x_{1}(t)=a(t), x_{2}(t)=a(t+\tau), x_{3}(t)=a(t+2 \tau), \ldots
\]

Число координат состояния конечно и должно превышать размерность аттрактора $d$. Вновь возникает вопрос: как реально выбрать время задержки $\tau$ ? Каким способом определить число $n$, которое задает размерность модельной системы уравнений?

K сожалению, ответов на поставленные вопросы на основе только теоретических результатов получить нельзя, требуется привлечение данных экспериментальных исследований. Попытаемся дать ответы на эти вопросы.

1. С точки зрения положений теории задержка $\tau$ может быть произвольной. Однако совершенно ясно, что если $\tau$ слишком мало, то $i$-я и ( $i+1$ )-я координаты точек фазовой траектории практически неотличимы друг от друга. Реконструируемый аттрактор в этом случае располагается вблизи главной диагонали пространства вложения (\”линии идентичности\”). А этого допускать нельзя в силу определения: координаты состояния есть независимые переменные, однозначно определяющие состояние системы. С другой стороны, если время задержки очень велико, координаты оказываются некоррелированными, и реконструированный аттрактор не отражает истинной динамики. На основе экспериментов установлено, что оценка оптимального времени задержки может быть получена из расчетов автокорреляционной функции $\psi\left(\tau_{0}\right)=\left\langle a(t) \cdot a\left(t+\tau_{0}\right)\right\rangle$, которая для сложных непериодических процессов будет спадающей во времени $\tau_{0}$. Значение $\tau_{0}$, соответствующее времени достижения первого нуля функции $\psi\left(\tau_{0}\right)$, используется в экспериментальных исследованиях для оценки задержки $\tau$ в (9.2) при введении новых координат состояния модельной системы.
2 . Теперь нужно каким-то способом найти $n$, чтобы определить размерность реконструируемой системы. Из теории следует, что для определения $n$ необходимо знать размерность аттрактора реальной динамической системы, которая может быть определена следующим образом. Выбрав произвольное (небольшое) значение размерности пространства вложения $n_{0}$, реконструируем аттрактор и определим его размерность

$d_{F}$ с помощью специальных алгоритмов. Затем повторим данную процедуру, увеличивая $n_{0}$ до тех пор, пока величина размерности $d_{F}$ не перестанет претерпевать заданных изменений. Соответствующее значение $d_{F}$ для хаотических аттракторов будет нецелым. Далее определяется ближайшее сверху целое число, и находится $d$ – размерность пространства, в которое \”укладывается\” наш аттрактор. С помощью формулы Манэ
\[
n \geqslant 2 d+1
\]

определяется размерность пространства вложения, необходимая для реконструкции аттрактора (а значит, и размерность модельной динамической системы), и таким образом ответ на второй вопрос получен.

Из сказанного следует, что для получения динамического описания на основе одномерного временного ряда нужно решить следующие задачи: определить размерность пространства вложения, реконструировать аттрактор в новом модельном фазовом пространстве и, наконец, записать явный вид модельной системы. Рассмотрим теперь эти этапы более подробно.