Доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система (4.1) является грубой гиперболической. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка как образ траектории в сечении Пуанкаре в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей (4.1) и вариации управляющих параметров в конечной области их значений все траектории продолжают оставаться седловыми.

Гиперболические аттракторы должны удовлетворять следующим условиям:
1) состоять из континуума \”неустойчивых листов\” или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся;
2) в окрестности любой точки иметь геометрию произведения канторова множества на интервал;
3) иметь окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.

Таким образом, грубость означает, что свойства 1-3 сохраняются при возмущениях.

Рис. 4.1. Седловая точка $Q_{i}$ как образ гиперболической траектории в сечении Пуанкаре.

На рис. 4.1 представлена седловая траектория $\Gamma$ и соответствующие точки $Q_{i}$ ее пересечения с секущей поверхностью Пуанкаре $S$. Данный рисунок иллюстрирует также локальное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий седловой точки $Q_{i}$.

Однако того, что локально точка $Q_{i}$ пересечения $\Gamma$ с $S$ является грубым седлом, оказывается недостаточно для грубой гиперболичности. Необходимы некоторые условия относително глобальных (нелокальных) свойств устойчивых и неустойчивых многообразий.

Обратимся к рис. 4.2. В силу наличия аттрактора устойчивые и неустойчивые многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ обязаны быть сосредоточены в области $G_{0}$. При этом они могут пересекаться с образованием гомоклинических точек (поверхностей), образуя так называемые гомоклинические структуры, которые в грубых гиперболических системах обязаны быть грубыми. Это означает, что с топологической точки зрения структура пересечения $W^{s}$ и $W^{u}$ должна соответствовать рис. $4.2, a$ и не меняться качественно при возмущениях. Случаи рис. $4.2,6$

Рис. 4.2. Возможные случаи пересечения устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловой точки $Q_{i}$ в сечении Пуанкаре.

и в исключаются из рассмотрения, так как характеризуют два негрубых явления: явление замыкания многообразий с образованием петли (рис. 4.2, б) и явление касания устойчивого и неустойчивого многообразий (рис. 4.2,8). Если нелокальные свойства многообразий при возмущениях динамической системы приводят к негрубым ситуациям, изображенным на рис. 4.2,б и 8 , возможны бифуркации решений. В грубых гиперболических системах никаких бифуркаций происходить не должно. При возмущениях системы траектория Г всегда остается седловой, что соответствует случаю рис. 4.2,a. Как мы увидим в дальнейшем, негрубые случаи рис. $4.2,6$ и $в$ являются причиной появления более сложно устроенных хаотических притягивающих множеств – так называемых квазиаттракторов. Странные (в смысле Рюэля-Такенса) аттракторы всегда являются грубыми гиперболическими предельными множествами.

Основной чертой, отличающей странные хаотические аттракторы от регулярных, является экспоненциальная неустойчивость фазовой траектории на аттракторе. Спектр ляпуновских экспонент в этом случае включает, как минимум, один положительный показатель. В соответствии с (4.2) фрактальная размерность аттрактора всегда больше двух и в общем случае не будет выражаться целым числом. Минимальная размерность фазового пространства, в которое можно \”вложить\” странный

аттрактор, оказывается равной трем. Таким образом, режим детерминированного хаоса можно наблюдать в дифференциальных динамических системах размерности $N \geqslant 3$.

В математике известны, по крайней мере, два примера грубых гиперболических аттракторов: аттрактор Смейла-Вильямса и аттрактор Плыкина. $\mathrm{K}$ сожалению, в реальных системах естествознания режим строго гиперболического грубого хаоса до сих пор не обнаружен. Истинно \”странные\” аттракторы являются идеальной, но недостижимой пока моделью детерминированного хаоса.