Изучение режимов динамического хаоса осуществляется по трем основным направлениям. Первое включает строгие математические исследования свойств гиперболических систем. Следует отметить исключительную важность фундаментальных аналитических результатов для правильного понимания и трактовки экспериментальных данных. Второе направление, типичное для естественнонаучных исследований, связано с анализом динамики конкретных систем, представляющих собой математические модели процессов, возникающих в реальных колебательных системах. Наибольший интерес для нелинейной динамики представляет третье направление. Оно включает разработку и исследование простейших базовых моделей, реализующих те или иные фундаментальные свойства хаотических систем. Поясним, о чем идет речь. Хорошо известно, например, что для изучения основных свойств автоколебаний достаточно рассмотреть уравнения генератора Ван дер Поля. Эта динамическая система исчерпывающим образом описывает механизмы рождения и свойства предельного цикла как математического
образа периодических автоколебаний. При этом уравнения модели генератора являются наиболее простыми из динамических систем с предельным циклом в качестве решения. Размерность фазового пространства системы равна двум, то есть является минимальной для систем с устойчивыми, близкими к синусоидальным, колебаниями. Уравнения содержат квадратичную нелинейность и только один управляющий параметр, задающий режимы колебаний.

Названные направления составляют основную задачу теории колебаний как науки, изучающей фундаментальные явления на примерах анализа динамики базовых моделей соответствующих явлений. С этой точки зрения теория нелинейных колебаний – это наука, в которой вводятся в рассмотрение и анализируются наиболее простые из возможных математические модели фундаментальных явлений, происходящих в мире колебательных систем.

Открытие эффекта детерминированного хаоса привело к необходимости формирования нового раздела нелинейной теории колебаний, связанного с разработкой и анализом динамики базовых моделей хаоса. Необходимо иметь в распоряжении совокупность моделей детерминированного хаоса, которые наиболее просто иллюстрируют типичные бифуркационные механизмы переходов к хаосу, топологическую структуру основных типов странных аттракторов, бифуркации хаотических аттракторов, их фрактальность и т.д. В этой лекции мы введем в рассмотрение одну из таких базовых моделей хаоса – генератор с инерционной нелинейностью (генератор Анищенко-Астахова).