Если динамическая система задана уравнением (1.7), то постулируется, что каждому $x\left(t_{0}\right)$ в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние $x(t)\left(t>t_{0}\right)$, куда за время $t-t_{0}$ переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (1.7). В операторной форме (1.7) можно записать в виде
\[
x(t)=\mathbf{T}_{t} x\left(t_{0}\right),
\]

где $\mathbf{T}_{t}$ — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию $x\left(t_{0}\right)$, то мы получим $x(t)$, то есть состояние в момент времени $t>t_{0}$. Так как $x\left(t_{0}\right)$ и $x(t)$ принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор $\mathbf{T}_{t}$ отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор $\mathbf{T}_{t}$ оператором отображения или просто отображением. Если известно отображение для моментов времени $t>0$ и $s>0$, то соответствующее отображение для момента времени $t+s$ в определенных случаях может быть получено в соответствии с правилом:
\[
\mathbf{T}_{t} \mathbf{T}_{s}=\mathbf{T}_{t+s}, t>0, s>0 .
\]

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: $\mathbf{T}[x(t)+y(t)]=\mathbf{T} x(t)+\mathbf{T} y(t)$. Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение $\mathbf{x}(\mathbf{t})$ с помощью оператора $\mathbf{T}$ может быть определено для любых $t>t_{0}$ (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами, или системами с дискретным временем.

Способы задания оператора отображения $\mathbf{T}$ также могут различаться. Оператор $\mathbf{T}$ можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.

В зависимости от того, какой ряд значений могут принимать фазовые координаты, определяющие состояние системы, различают непрерывное и дискретное фазовые пространства.