10.3.2. Соотношения совпадающих систем первого и второго порядков

Незапаздывающая система первого порядка: В-представление. Непрерывная система, удовлетворяющая уравнению

,                                   (10.3.3)

для скачкообразного входа является дискретно-совпадающей с дискретной системой

,                                   (10.3.4)

где

,               (10.3.5)

выражено через параметры -представления. Можно записать разностное уравнение иначе:,                                                   (10.3.6)

где

,                                               (10.3.7)

В качестве иллюстрации рассмотрим опять пример разд. 10.2.4 в случае «произвольного» входа. Выход для этого случая рассчитан в табл. 10.3 (в) и представлен на рис. 10.7, в. Предположим, что в действительности мы имеем непрерывную систему

 .

Тогда она будет дискретно-совпадающей с дискретной моделью (10.2.14), рассмотренной ранее, а именно с

.

Рис. 10.10. Непрерывный отклик системы  на скачкообразный вход.

Если вход и выход были непрерывны, а вход был скачкообразным, истинный ход отклика был бы таким, как показано непрерывными линиями на рис. 10.10. Выход представлял собой последовательность экспонент. Каждая пунктирная линия показывает дальнейший ход отклика при отсутствии дальнейших изменений входа. Кривые точно совпадают в дискретные моменты отсчета с дискретным выходом, рассчитанным в табл. 10.3 (в) и приведенным на рис. 10.7, в.

Запаздывающая система первого порядка: В-представление. Непрерывная система, удовлетворяющая уравнению

,                                    (10.3.8)

для скачкообразного входа, дискретно совпадает с системой, удовлетворяющей разностному уравнению

,                            (10.3.9)

где

,      (10.3.10)

выражено через параметры -представления.     Разностное уравнение можно записать иначе:

,                                 (10.3.11)

где

,                            (10.3.12)

Заметим, что

                      (10.3.13)

может рассматриваться как интерполяция приращения  между   и . По табл. 10.4 могут быть определены соответствующие параметры  и  дискретных и непрерывных моделей для ряда случаев.

Таблица 10.4. Значения  при различных  и  для системы первого порядка с запаздыванием. Показаны также соответствующие значения  и

Система второго порядка без запаздывания. В-представление. Непрерывная система, удовлетворяющая уравнению

,                                (10.3.14)

для скачкообразного входа дискретно совпадает с системой

,                     (10.3.15)

или, что эквивалентно, с системой

,                   (10.3.16)

где

          (10.3.17)

выражено через параметры -представления. Разностное уравнение можно записать также в виде

,                                    (10.3.18)

где

,   (10.3.19)

может рассматриваться как приращение интерполяции между  и .           Значения  и , выраженные через , можно получить непосредственно из данных табл. 10.1.

В качестве конкретного примера на рис. 10.5 показаны функции отклика на скачок двух дискретных систем, рассмотренных прежде, там же приведены соответствующие непрерывные отклики для дискретно-совпадающих систем. Эти пары моделей таковы:

                                                 непрерывная модель:

Кривая К

                                                 дискретная модель:

                                                 непрерывная модель:

Кривая Д

                                                 дискретная модель:

Непрерывные кривые были построены согласно (10.1.18)4 и (10.1.12). Эти формулы определяют непрерывные функции отклика на скачок для систем второго порядка, характеристические уравнения которых имеют соответственно комплексные и действительные корни.

Дискретное представление запаздывающей непрерывной системы второго порядка для скачкообразного входа приведено в приложении П10.1.