11.1.2. Оценивание взаимных ковариационных и корреляционных функций

Предположим, что после взятия -х разностей от первоначальных входного и выходного временных рядов имеется  пар значений , доступных для анализа. Тогда, как показано, например, в [27], выборочная оценка  коэффициента взаимной ковариации для задержки  дается выражением

            (11.1.4)

где ,  — средние значения рядов  и . Аналогично выборочная оценка  коэффициента взаимной корреляции  при задержке  может быть получена подстановкой в (11.1.3) вместо ,  и  их выборочных оценок  и , что приводит к выражению

,         ,                                (11.1.5)

Пример. На практике для получения полезных оценок взаимной корреляционной функции нужно не менее 50 пар наблюдений. Однако, чтобы проиллюстрировать формулы (11.1.4) и (11.1.5), мы вычислим оценку взаимной корреляционной функции при задержках +1 и -1 для следующих рядов из 5 пар наблюдений:

	1	2	3	4	5
	11	7	8	12	14
	7	10	6	7	10

Для этих рядов  и отклонения от среднего равны

 

	1	2	3	4	5
	0,6	-3,4	-2,4	1,6	3,6
	-1,0	2,0	-2,0	-1,0	2,0

Отсюда

и

.

Используя , получаем

 .

Аналогично . Отсюда  и

 .

На рис. 11.4 показана выборочная взаимная корреляционная функция  дискретных входных и выходных данных для газовой печи, полученных считыванием с непрерывных данных (на рис. 11.1) с шагом в 9 с. Ответим, что взаимная корреляционная функция не симметрична относительно нуля и имеет четко выраженный пик на , указывающий, что выход задержан относительно входа. Значения взаимных корреляций отрицательны. Этого следовало ожидать (см. рис. 11.1), так как увеличение скорости подачи газа уменьшает выходную концентрацию.

Рис. 11.4. Взаимная корреляционная функция входа и выхода для данных газовой печи, считываемых через 9-секундные интервалы.