11.1.2. Оценивание взаимных ковариационных и корреляционных функций
Предположим,
что после взятия
-х
разностей от первоначальных входного и выходного временных рядов имеется
пар значений
, доступных для
анализа. Тогда, как показано, например, в [27], выборочная оценка
коэффициента взаимной
ковариации для задержки
дается выражением
(11.1.4)
где
,
— средние значения
рядов
и
. Аналогично
выборочная оценка
коэффициента
взаимной корреляции
при задержке
может быть получена
подстановкой в (11.1.3) вместо
,
и
их выборочных оценок
и
, что приводит к
выражению
,
, (11.1.5)
Пример.
На практике для получения полезных оценок взаимной корреляционной функции
нужно не менее 50 пар наблюдений. Однако, чтобы проиллюстрировать формулы
(11.1.4) и (11.1.5), мы вычислим оценку взаимной корреляционной функции при
задержках +1 и -1 для следующих рядов из 5 пар наблюдений:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
11
|
7
|
8
|
12
|
14
|
|
7
|
10
|
6
|
7
|
10
|
Для
этих рядов
и
отклонения от среднего равны
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
0,6
|
-3,4
|
-2,4
|
1,6
|
3,6
|
|
-1,0
|
2,0
|
-2,0
|
-1,0
|
2,0
|
Отсюда
и
.
Используя
, получаем
.
Аналогично
. Отсюда
и
.
На
рис. 11.4 показана выборочная взаимная корреляционная функция
дискретных входных и
выходных данных для газовой печи, полученных считыванием с непрерывных данных
(на рис. 11.1) с шагом в 9 с. Ответим, что взаимная корреляционная функция не
симметрична относительно нуля и имеет четко выраженный пик на
, указывающий, что
выход задержан относительно входа. Значения взаимных корреляций отрицательны. Этого
следовало ожидать (см. рис. 11.1), так как увеличение скорости подачи газа уменьшает
выходную концентрацию.
Рис. 11.4. Взаимная
корреляционная функция входа и выхода для данных газовой печи, считываемых
через 9-секундные интервалы.