10.1.2. Непрерывные динамические модели, описываемые дифференциальными уравнениями

Динамическая система первого порядка. Рассмотрим рис. 10.3. Пусть в момент   — объем воды в резервуаре , a   — объем воды в резервуаре , связанном с  трубой. В данный момент мы не рассматриваем резервуар , показанный пунктиром. Пусть вода может подаваться в  или забираться из него по трубе ; имеются механические средства, позволяющие изменять уровень, а следовательно, и объем  воды в  нужным образом вне зависимости от того, что происходит в .

Если объем  в первом резервуаре поддерживается на постоянном уровне, вода будет перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока уровни в них не станут одинаковыми. Если теперь изменить объем , вода будет снова перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока не наступит равновесие. Объем воды в , находящийся в равновесии как функция заданного объема в , описывается стационарным соотношением

.                            (10.1.4)

В этом случае стационарное усиление  геометрически выражается как отношение заштрихованных площадей двух резервуаров. Если два уровня в момент  не совпадают, различие в уровне воды между резервуарами пропорционально .

Пусть теперь, выкачивая или впуская жидкость по трубе , мы заставляем объем  следовать графику, показанному на рис. 10.3. Тогда объем воды  в  будет изменяться в соответствии с ходом графика, показанного на том же рисунке. В общем случае функция , определяющая режим системы, называется вынуждающей функцией.

Для того чтобы связать вход и выход, заметим, что с хорошей точностью скорость потока через трубу пропорциональна разности в уровнях, т. е.

,                  (10.1.5)

где   — константа. Дифференциальное уравнение (10.1.5) можно переписать в виде

,                     (10.1.6)

где. Динамическую систему, описываемую таким образом при помощи дифференциального уравнения первого порядка, часто называют динамической системой первого порядка.

Рис. 10.3. Представление простой динамической системы.

Постоянная  называется постоянной времени системы. Та же модель первого порядка может приближенно описывать поведение многих простых систем. Например,  может быть выходной температурой воды в системе водяного отопления, а  — скоростью поступления воды в систему.

Можно показать (см. например [27]), что решение линейного дифференциального уравнения такого типа, как (10.1.6), можно записать в виде

,                              (10.1.7)

где  — вообще говоря, (непрерывная) функция отклика на единичный импульс. Видно, что  получается из  как непрерывно взвешенная сумма, точно так же, как  получалось из  в (10.1.2) как дискретно взвешенная сумма. Далее видно, что роль непрерывной весовой функции  в непрерывном случае совершенно аналогична роли  в дискретном случае. Для конкретной системы первого порядка, определенной (10.1.6),

.

Таким образом, отклик на единичный импульс затухает в этом случае по экспоненте (см. рис. 10.3).

В непрерывном случае определение выхода для произвольной вынуждающей функции, такой, как на рис. 10.3, обычно выполняется либо моделированием на аналоговом вычислительном устройстве,  ибо расчетом на цифровой вычислительной машине

Рис. 10.4. Функция отклика на единичный скачок системы первого порядка.

Аналитические решения можно получить только для вынуждающих функций специального вида. Пусть, например, вначале гидравлическая система пуста, а затем  внезапно достигает уровня  и сохраняет это значение.  Такую вынуждающую функцию, внезапно изменяющую нулевой стационарный уровень на стационарный уровень, равный единице, мы будем называть (единичным) скачком. Отклик системы на такую функцию, названный откликом на единичный скачок, можно получить, решая дифференциальное уравнение (10.1.6) с единичным скачком на входе, что дает

.                                     (10.1.8)

Как следует из этого результата, уровень в резервуаре  возрастает по экспоненте (рис. 10.4). Когда , . Это означает, что постоянная времени — это время, необходимое системе первого порядка (10.1.6) для достижения 63,2% ее заключительного равновесного уровня после подачи на вход единичного скачка.

Иногда существует начальный интервал чистого запаздывания, или холостое время, перед тем как проявится какая бы то ни было реакция на данное изменение входа. Например, если труба между  и (рис. 10.3) достаточно длинна, внезапное изменение уровня в может не оказать эффекта на до тех пор, пока через трубу не прошло достаточное количество жидкости. Пусть введенное таким образом запаздывание занимает единиц времени. Тогда отклик запаздывающей системы будет описываться дифференциальным уравнением, подобным (10.1.6), но только справа вместо  будет стоять , т. е.

.                           (10.1.9)

Соответствующие функции отклика на единичный импульс и скачок имеют точно такую же форму, как в системе без запаздывания, но смещены по оси времен на расстояние .

Рис. 10.5. Функции отклика на единичный скачок совпадающих дискретной и непрерывной систем второго порядка, имеющих характеристические уравнения с действительными (кривая ) и комплексными корнями (кривая).

Динамическая система второго порядка. Рассмотрим рис. 10.3 еще раз. Вообразим, что имеется система трех резервуаров с трубой, ведущей от резервуара  к резервуару , объем жидкости в котором обозначен. Пусть  — временная постоянная, и  — стационарное усиление дополнительной системы. Тогда  и  связаны дифференциальным уравнением

.

После подстановки в (10.1.6) мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее выход третьего резервуара и вход первого,

,        (10.1.10)

где . Для такой системы функция отклика на единичный импульс — это наложение экспонент

,             (10.1.11)

а функция отклика на единичный скачок имеет вид

.                 (10.1.12)

Непрерывная кривая  на рис. 10.5 показывает отклик на скачок системы

,

у которой , , . Отметим, что в отличие от системы первого порядка система второго порядка имеет отклик на скачок с начальным нулевым наклоном.

Более общая система второго порядка определяется уравнением

,                    (10.1.13)

где

                                             (10.1.14)

и постоянные  и  могут быть комплексными. Если мы запишем

, .                                (10.1.15)

то (10.1.13) примет вид

.                (10.1.16)

Функция отклика на единичный импульс (10.1.11) станет тогда равной

,               (10.1.17)

а функция отклика на скачок

.    (10.1.18)

Непрерывная кривая  на рис. 10.5 — это отклик на скачок системы

,

для которой  и . Нужно заметить, что отклик на скачок вначале превышает значение  и затем приходит к равновесному уровню, как затухающая синусоида. Это поведение типично для перезатушенных систем. В общем систему второго порядка называют перезатушенной, критически затушенной или недозатушенной в зависимости от того, являются ли постоянные  и  действительными, действительными и равными или комплексными. У перезатушенной системы функция отклика на скачок образована наложением экспонент такого типа как (10.1.12), и всегда располагается ниже асимптоты . Как и в системе первого порядка, отклик может иметь холостое время, для этого надо заменить аргумент  в правой части (10.1.13) на . Многие весьма сложные динамические системы можно достаточно точно описывать такими системами второго порядка с запаздыванием.

Более сложные линейные динамические системы могут быть описаны, если допустить, что не только сами значения уровня вынуждающей функции , но также скорость ее изменения  и более высокие производные влияют на поведение системы. Поэтому общая модель для описаний (непрерывных) динамических систем — это линейное дифференциальное уравнение

.      (10.1.19)