13.3.2. Влияние интервала отсчета на процесс ПСС(0,1,1)
Пусть
наблюдения процесса делаются через «единичный» интервал и исследуется модель
шума
с
дисперсией 
,
где индекс 1 применяется для обозначения используемого интервала отсчета. Тогда
автоковариации 
разностей
будут
равны
(13.3.2)
Обозначив
, получим
,
т.
е. при данных 
и
параметр 
процесса 
может быть получен
решением квадратного уравнения
.
Используется
корень уравнения, лежащий в интервале 
. Отметим, что
. (13.3.3)
Пусть
теперь процесс 
наблюдается
с шагом в 
единиц
(где положительное
целое), и результирующий процесс обозначим 
. Тогда
и
т. д. Автоковариации 
разностей 
имеют вид
(13.3.4)
Отсюда
следует, что –
также процесс 
:
,
где
– белый
шум с дисперсией 
. Имеем
,
так
что
. (13.3.5)
Далее,
так как 
,
имеем
. (13.3.6)
Следовательно,
показано, что при отсчете процесса с шагом получается другой процесс .
Из
(13.3.5) можно получить значение параметра 
для этого процесса, а из (13.3.6) – дисперсию
этого
процесса, выраженные через параметры 
и 
исходного процесса.
На
рис. 13.6 дан график как функции 
и приведена шкала . График позволяет
найти эффект увеличения интервала отсчета данного процесса в любое целое число
раз. Пусть, например, мы имеем процесс с параметрами 
и 
.
Используем график, чтобы найти значения соответствующих параметров 
, 
, 
, 
, в случаях, когда интервал
отсчета а) удвоен, б) учетверен. Отмечая на краю вспомогательного листка бумаги
точки 
, 
, 
со шкалы графика, положим
лист так, чтобы этот край был параллелен оси и точка совпадала с точкой кривой для . Ординаты кривой,
соответствующие и
, будут
равны и . Находим
Рис. 13.6. Изменение интервала
отсчета процесса .
Параметр для
функции .
Из
(13.3.6) следует, что дисперсии обычно пропорциональны 
,
т.е.
Положим,
что для первоначальной схемы с единичным интервалом динамическая константа
равна 
(индекс
1 опять обозначает интервал отсчета). Тогда, поскольку в реальном времени та же
фиксированная постоянная времени 
описывает все схемы, имеем
.
Схема,
дающая минимальную среднеквадратичную ошибку для конкретного интервала отсчета , будет
,
или
. (13.3.7)
Пусть,
например, ,
как и ранее, и 
;
тогда 
; 
. Получаем
оптимальные схемы
Как
и следовало ожидать, при увеличении интервала отсчета и уменьшении роли
динамики системы вклад интегрального регулирования увеличивается и отношение
пропорционального регулирования к интегральному заметно уменьшается. Ранее
отмечалось, что в некоторых случаях излишне большая дисперсия корректировок 
может быть
неприемлемой. Индикатором этого свойства схем являются значения 
. Меньшее значение само по себе не
оправдывает, конечно, выбор . Применение схемы регулирования с
ограничением (подобно описанной в разд. 13.2) с дало бы резкое уменьшение 
с незначительным
увеличением дисперсии выхода. Например, из табл. 13.3 для 
мы находим, что при 5%-ном
увеличении дисперсии выхода до значения 
дисперсию входа схемы с можно уменьшить до
22% от ее значения без ограничений, так что 
. Из
(13.2.28) получаем, что при схема с ограничением имеет вид
На
практике можно указать ряд альтернативных схем с их характеристиками и выбрать
конкретную схему для данной проблемы с позиции экономичности.
В
общем увеличение дисперсии выхода, вызываемое увеличением интервала отсчета,
может быть скомпенсировано экономическим выигрышем, например менее частыми
наблюдениями.
