13.1.2. Оптимальное действие в случаях, когда корректировки  содержат ошибки наблюдения

Уравнение (13.1.11) позволяет вычислить эффект добавочного шума в  в тех случаях, когда оптимальная схема такой шум не учитывает. Интересно получить также оптимальную схему для конкретного добавочного шума и увидеть, насколько она отличается от схемы, где такой шум не учтен. Рассмотрим опять пример из разд. 13.1.1.

Пусть фактически выполненное регулирующее действие равно

,

где , как и ранее, некоррелированы и имеют дисперсию , а шум  представим процессом . Необходимо выбрать  так, чтобы минимизировать .

Рассмотрим, как и ранее, точку  в петле обратной связи. Здесь

или

,

и, следовательно,

.                 (13.1.14)

Правая часть уравнения (13.1.14) описывает процесс скользящего среднего второго порядка с добавочным белым шумом и, следовательно, может (разд. П4.4.1) быть представлена другим процессом скользящего среднего второго порядка:

,

где  – белый шум. Следовательно, задача сводится к выбору такого оператора , чтобы минимизировалась , где

.

Можно записать это равенство в виде

,

так что

,

и  минимально, только если ; это приводит к

,                (13.1.15)

или к

.

Следовательно, оптимальная корректировка равна

.                       (13.1.16)

Подставляя (13.1.15) в (13.1.14), получаем

,

откуда  и  находятся приравниванием ковариации при задержках 0, 1, 2.

Обозначив , получаем

                  (13.1.17)

Оптимальная упрощенная схема регулирования. Рассмотрим опять в качестве примера упрощенную диаграмму на рис. 12.8,б. Делая те же приближения, что и ранее, рассмотрим, что дала бы такая схема, если учесть дополнительные ошибки округления.

Пусть, как и в предшествующем обсуждении в конце разд. 13.1.1, , , ,  и, следовательно,

.

Тогда, пользуясь (13.1.17), получаем

, ,

.

Отсюда

, , .

Подставляя эти значения в (13.1.16), находим оптимальную корректировку

с . Можно сравнить эту схему с фактически использованной схемой

и , которая является оптимальной в предположении об отсутствии дополнительных ошибок. Ясно, что в этом случае добавочный шум незначительно повлиял на выбор оптимального уравнения регулирования.

Изменения оптимальной корректировки, вызванные шумом на входе. Если, как и ранее, принять

,

то из уравнения (13.1.17) получаем

,                 (13.1.18а)

,            (13.1.18б)

,                (13.1.18в)

где, как и прежде, . На практике, чтобы связать  с , проще всего выразить решение (13.1.18в) через  для ряда нужным образом заданных  и затем найти соответствующие значения  и , подставив результаты в (13.1.18а) и (13.1.18б).

В этом примере умеренный добавочный шум, вызванный сильным округлением, не привел к значительному увеличению , и оптимальная схема, учитывающая этот шум, не привела к заметным улучшениям по сравнению со схемой, игнорирующей шум. Такое заключение справедливо (при умеренном шуме) для широкого диапазона параметров. Однако оно становится неверным, когда  приближается к 1 (система имеет постоянную времени, существенно превышающую интервал выборки) и при наличии в петле обратной связи очень сильной компоненты добавочного шума. Чтобы получить представление об этих случаях, рассмотрим несколько примеров. В каждом случае примем , , так что . Это соответствует добавочному шуму  со стандартным отклонением , таким же, как у ошибок округления, в случае, когда интервал округления равен . Здесь  – стандартное отклонение , когда шум отсутствует.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: , , .

Случай 2: , , .

Оптимальные схемы регулирования, соответствующие этим параметрам, приведены в табл. 13.1.

Таблица 13.1. Поведение конкретных схем регулирования в случае добавочного шума на входе

Чтобы лучше понять табл. 13.1, заметим, что если записать уравнение регулирования не для корректировки , а для уровня , на котором поддерживается регулируемая переменная между моментами времени  и , то все схемы табл. 13.1 примут вид

,

что означает необходимость пропорционально-интегрального регулирования.

Корректирующее действие будет иметь вид

.                      (13.1.19)

Из таблицы видно, что при  (постоянная времени системы не слишком велика по сравнению с интервалом отсчета) отношение пропорционального регулирования к интегральному , и введение шума не изменяет характера оптимального регулирования. Однако при  (постоянная времени системы очень велика по сравнению с интервалом отсчета) отношение пропорционального регулирования к интегральному велико . Оптимальная схема реагирует на добавочный шум увеличением  и резким уменьшением отношения . Чтобы измерить эффективность оптимальной схемы, не учитывающей шум, в ситуации, когда шум имеется, можно использовать отношение

.

Для рассмотренных выше схем

 для ,

 для .

Рис. 13.2,а и б иллюстрирует изменения коэффициента эффективности  и значений  и  по мере увеличения шума в петле для двух ранее рассмотренных случаев  и . При рассмотрении рисунка нужно помнить следующее:

1. При применении регулирования в промышленных задачах даже 10%-ная ошибка на входе весьма маловероятна; в диапазоне  даже при  эффективность схемы, не учитывающей шум, вполне удовлетворительна.

2. Если параметры оцениваются по данным, получаемым в процессе производства, добавочный шум уже будет учтен основной схемой.

Рис. 13.2. Характеристики схем регулирования при различных пропорциях добавочного шума на входе.

Тем не менее, если параметры не оценивать таким способом и если на входе существует сильный добавочный шум, не учтенный при проектировании схемы, регулирование будет неэффективным.

В этих примерах оптимальные схемы, учитывающие добавочный шум, в большей степени основаны на интегральном действии и в меньшей степени на пропорциональном.