11.1. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Точно так же как для идентификации случайных моделей использовалась автокорреляционная функция, инструментом анализа данных с целью идентификации моделей передаточных функций служит взаимная корреляционная функция входа и выхода. В этом разделе мы рассмотрим основные свойства взаимной корреляционной функции, а в следующем покажем, как ее использовать для идентификации моделей передаточных функций.

11.1.1. Свойства взаимных ковариационной и корреляционной функций

Двумерные случайные процессы. В гл. 2 (выпуск 1) было показано, что, анализируя статистический временной ряд, полезно рассматривать его как реализацию некой гипотетической популяции временных рядов, называемой случайным процессом.

Пусть мы хотим описать входной временной ряд  и соответствующий выходной временной ряд  для некоторой реальной системы. Например, на рис. 11.1 показаны непрерывные данные о входе — скорости подачи газа и о выходе — концентрации  для газовой печи. Тогда эту пару временных рядов можно рассматривать как реализацию из гипотетической популяции временных рядов, называемой двумерным случайным процессом . Пусть данные считываются через равные интервалы времени, образуя пару дискретных временных рядов; их значения в моменты времени  обозначены .

В этой главе подробно проиллюстрированы данные о газовой печи, считываемые каждые 9 с (рис. 11.1). Полученные таким образом значения  приведены как ряд  в конце этого выпуска.

Взаимные ковариационная и корреляционная функции. В гл. 2 было показано, что стационарный гауссовский случайный процесс может быть описан его средним значением  и автоковариационной функцией  или, что эквивалентно, его средним значением , дисперсией  и автокорреляционной функцией . Далее, так как и , автоковариационную и автокорреляционную функции графически можно представлять только для неотрицательных задержек

В общем случае двумерный случайный процесс  не обязательно стационарен. Однако, как и в гл. 4, мы предполагаем, что процесс , полученный из этого процесса взятием нужного числа разностей (т.е. ), стационарен.

Рис. 11.1. Скорость подачи газа на входе (в условных единицах) я концентрация  (в %) на выходе газовой печи.

Ряс. 11.2 Автоковариация и взаимные ковариации двумерного случайного процесса.

Предположение о стационарности означает, в частности, что образующие пару процессы  и  обладают постоянными средними значениями  и  и постоянными дисперсиями  и . Если, кроме того, предположить, что двумерный процесс нормальный, то он однозначно описывается своими средними значениями ,  и ковариационной матрицей. Рис. 11.2 иллюстрирует различные типы ковариаций, которые необходимо рассматривать при вычислении матрицы.

Коэффициенты автоковариаций каждого ряда — компоненты пары при задержке — определяются обычными формулами

 ,

,

где обозначения  и  используются теперь для автоковариаций рядов  и . Кроме этих ковариаций, в ковариационной матрице могут появиться только два типа коэффициентов: коэффициенты взаимной ковариации между  и  при задержке

,                           (11.1.1)

и коэффициенты взаимной ковариации между  и  при задержке

,                             (11.1.2)

Заметим, что в общем  не совпадает с . Однако, так как

 ,

мы должны определить только одну функцию  для . Функция  называется взаимной ковариационной функцией двумерного процесса. По аналогии безразмерная величина

    ,                                             (11.1.3)

называется коэффициентом взаимной корреляции при задержке , и функция  определенная при — взаимной корреляционной функцией двумерного процесса.

Так как в общем случае  не равно , взаимная корреляционная функция,в отличие от автокорреляционной функции, не симметрична относительно . Фактически часто взаимная корреляционная функция равна нулю в некотором диапазоне  скажем, от  до  или от  до . Рассмотрим, например, взаимную ковариационную функцию между  и  для «задержанного» процесса авторегрессии первого порядка

 ,       ,    ,

где  имеет нулевое среднее значение. Тогда, поскольку

,

взаимная ковариационная функция между  и  будет равна

Следовательно, для задержанного процесса авторегрессии взаимная корреляционная функция равна

На рис. 11.3 показана эта взаимная корреляционная функция при  и .

Рис. 11.3. Взаимная корреляционная функция  и  для процесса авторегрессии с запаздыванием .