11.1. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
Точно
так же как для идентификации случайных моделей использовалась
автокорреляционная функция, инструментом анализа данных с целью идентификации
моделей передаточных функций служит взаимная корреляционная функция входа
и выхода. В этом разделе мы рассмотрим основные свойства взаимной
корреляционной функции, а в следующем покажем, как ее использовать для
идентификации моделей передаточных функций.
11.1.1. Свойства взаимных ковариационной и корреляционной функций
Двумерные случайные процессы. В гл. 2 (выпуск 1) было показано,
что, анализируя статистический временной ряд, полезно рассматривать его как
реализацию некой гипотетической популяции временных рядов, называемой
случайным процессом.
Пусть
мы хотим описать входной временной ряд
и соответствующий выходной временной
ряд
для
некоторой реальной системы. Например, на рис. 11.1 показаны непрерывные данные
о входе — скорости подачи газа и о выходе — концентрации
для газовой печи. Тогда эту
пару временных рядов можно рассматривать как реализацию из гипотетической
популяции временных рядов, называемой двумерным случайным процессом
. Пусть данные
считываются через равные интервалы времени, образуя пару дискретных временных
рядов; их значения в моменты времени
обозначены
.
В
этой главе подробно проиллюстрированы данные о газовой печи, считываемые каждые
9 с (рис. 11.1). Полученные таким образом значения
приведены как ряд
в конце этого
выпуска.
Взаимные ковариационная и корреляционная функции. В гл. 2 было показано, что
стационарный гауссовский случайный процесс может быть описан его средним
значением
и
автоковариационной функцией
или, что эквивалентно, его средним
значением
,
дисперсией
и
автокорреляционной функцией
. Далее, так как
и
, автоковариационную и автокорреляционную
функции графически можно представлять только для неотрицательных задержек
В
общем случае двумерный случайный процесс
не обязательно стационарен. Однако, как
и в гл. 4, мы предполагаем, что процесс
, полученный из этого процесса взятием
нужного числа разностей (т.е.
), стационарен.
Рис. 11.1. Скорость подачи газа
на входе (в условных единицах) я концентрация
(в %) на выходе газовой печи.
Ряс. 11.2 Автоковариация и
взаимные ковариации двумерного случайного процесса.
Предположение
о стационарности означает, в частности, что образующие пару процессы
и
обладают постоянными
средними значениями
и
и постоянными дисперсиями
и
. Если, кроме того,
предположить, что двумерный процесс нормальный, то он однозначно описывается
своими средними значениями
,
и ковариационной матрицей. Рис. 11.2 иллюстрирует
различные типы ковариаций, которые необходимо рассматривать при вычислении
матрицы.
Коэффициенты
автоковариаций каждого ряда — компоненты пары при задержке
— определяются обычными
формулами
,
,
где
обозначения
и
используются
теперь для автоковариаций рядов
и
. Кроме этих ковариаций, в ковариационной
матрице могут появиться только два типа коэффициентов: коэффициенты
взаимной ковариации между
и
при задержке
,
(11.1.1)
и
коэффициенты взаимной ковариации между
и
при задержке
,
(11.1.2)
Заметим,
что в общем
не
совпадает с
.
Однако, так как
,
мы
должны определить только одну функцию
для
. Функция
называется взаимной ковариационной
функцией двумерного процесса. По аналогии безразмерная величина
, (11.1.3)
называется
коэффициентом взаимной корреляции при задержке
, и функция
определенная при
— взаимной
корреляционной функцией двумерного процесса.
Так
как в общем случае
не
равно
,
взаимная корреляционная функция,в отличие от автокорреляционной функции, не
симметрична относительно
. Фактически часто взаимная
корреляционная функция равна нулю в некотором диапазоне
скажем, от
до
или от
до
. Рассмотрим,
например, взаимную ковариационную функцию между
и
для «задержанного» процесса
авторегрессии первого порядка
,
,
,
где
имеет нулевое
среднее значение. Тогда, поскольку
,
взаимная
ковариационная функция между
и
будет равна
Следовательно,
для задержанного процесса авторегрессии взаимная корреляционная функция равна
На рис.
11.3 показана эта взаимная корреляционная функция при
и
.
Рис. 11.3. Взаимная
корреляционная функция
и
для процесса авторегрессии с
запаздыванием
.