13.2.2. Схема с ограничением для примера «вязкость–подача газа»

Во втором примере разд. 12.2.3 был рассмотрен химический процесс, в котором вязкость продукта поддерживалась вблизи номинального значения 92 изменением скорости подачи газа. В опытной схеме регулирования принималось  , , и оптимальное регулирующее действие имело вид

,

где . Позже было показано (разд. 12.4.3), что эта модель содержит ошибку. Однако сейчас мы будем для простоты считать ее правильной. Дисперсия  будет тогда равна

,

т, е.

.

На рис. 13.4 показано возможное уменьшение  для различных значений , а также другие параметры оптимального регулирования. В частности, видно, что уменьшение в 2 раза стандартного отклонения входа приводит к увеличению стандартного отклонения выхода лишь на 10%.

Рис. 13.4. Регулирование вязкости изменением подачи газа. Значения , ,  для диапазона значений .

Рис. 13.5 является дальнейшей иллюстрацией этого примера. 24 последовательных наблюдения значений входа (подача газа) и выхода (вязкость) приведены в левой диаграмме в том виде, в каком они были фактически получены в оптимальной схеме без ограничений  при . Показан также шум, восстановленный расчетным путем. Пусть схема вначале давала значение выхода, равное номиналу; тогда этот восстановленный шум изображает отклонения выхода от номинала, которые наблюдались бы при отсутствии регулирования. Диаграмма справа показывает, как бы выглядел тот же шум, если бы использовалось уравнение регулирования

.

Уравнения регулирования ,

Рис. 13.5. Поведение схем регулирования с ограничением и без ограничений для примера «вязкость – скорость подачи газа».

Эта схема дает наименьшее стандартное отклонение входа при увеличении стандартного отклонения выхода на 10%. Как и ожидалось, стандартное отклонение выхода увеличилось незначительно, зато стандартное отклонение входа  уменьшилось вдвое.

Схемы с ограничением для систем с запаздыванием. Общий анализ для схем с ограничением рассмотренного типа был недавно проведен Вилсоном [107]; он базировался на теории Винера-Хопфа [106], изложенной Уиттлом [49]. Пользуясь результатами Вилсона, Макгрегор провел предварительное исследование интересной ситуации, когда в петле обратной связи имеется запаздывание (холостое время). Ниже мы частично воспроизведем его результаты. Проиллюстрируем их на важном случае, для которого решение без ограничений приведено в разд. 12.2.3 (пример 3).

Предполагается, что динамика системы описывается моделью первого порядка с запаздыванием выхода  относительно входа  и что возмущение  может быть представлено процессом . Тогда

,

.

Оптимальный регулятор с ограничением при  имеет вид

,

частным случаем которого является оптимальный регулятор без ограничений (12.2.13).

Предположим, в частности, что . Динамическая модель будет тогда иметь аналогом непрерывную систему, у которой холостое время равно целому периоду плюс его дробная часть. Тогда оптимальный регулятор с ограничением – это

,

где

,

,

и

,

,

,

где  – некоторая неизвестная константа.

Дисперсии  и  имеют вид

,

.

Случай системы с запаздыванием представляет собой интерес, поскольку схемы без ограничений, дающие минимальную среднеквадратичную ошибку, часто требуют практически нереализуемых больших корректировок переменного знака. Чтобы показать, насколько сильно уменьшается дисперсия корректировок  при использовании таких схем, был проведен расчет для случая , , ,  при  и .

Характеристики схемы без ограничения таковы: при

,

,            

и при

,

,             .

Различные оптимальные схемы с ограничением приведены в табл. 13.4.

Таблица 13.4. Сравнение схем регулирования с обратной связью с ограничением и без ограничений