13.2. СХЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ, ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ, НАЛОЖЕННОМ НА ДИСПЕРСИЮ КОРРЕКТИРОВКИ

Рассмотренные выше дискретные схемы регулирования с обратной связью предназначались для минимизации среднеквадратичной ошибки выхода. При этом неявно предполагалось, что не существует ограничения величины корректировки, которую можно выполнить для достижения этой цели. Иногда случается, что эти схемы нельзя применить, так как по практическим причинам допустимые вариации  ограничены. Поэтому нужно представлять, как изменится конкретный класс схем регулирования с обратной связью при наложении ограничения на ; предполагается, что  – стационарный процесс.

Рассмотрим опять важный случай, когда возмущение выхода  представимо моделью порядка :

,      ,                  (13.2.1)

а выход и вход связаны передаточной функцией первого порядка, т. е.

,                  (13.2.2)

где . Напомним, что  можно трактовать как долю общей реакции на единичный входной скачок, происходящую в первом временном интервале. Как мы видели в разд. 12.2.3, уравнение регулирования, дающее минимальную дисперсию выхода, имеет вид

,                 (13.2.3)

Где  и .

Если  пренебрежимо мало, оптимальное регулирование достигается, согласно формуле, при ; в этом случае будем иметь . Отсюда следует, что когда  пренебречь нельзя, . Если  близко к своему верхнему пределу – единице, то  может стать очень большой. Например, если  (т. е. только 0,1 возможного изменения, вызванного единичным скачком на входе, проявилось в первом временном интервале), то . Действительно, когда  приближается к единице, регулирующее действие

принимает все более «знакопеременный» характер; корректировка в момент  устраняет существенную часть корректировки, проделанной в момент . Значение  соответствует постоянной времени системы, превышающей девять интервалов отсчета (см., например, табл. 10.4). Появление такого значения говорит о том, что интервал отсчета мал, а инерция процесса велика, так что менее частые наблюдения не приведут к потерям.

В разд. 13.3 будет показано, что выбор интервала отсчета должен зависеть от природы шума, существующего в системе. Поскольку свойства шума обычно хорошо отражают инерцию системы, во многих случаях интервал отсчета следовало бы увеличить. Тем не менее встречались практические ситуации [105], когда использовался разумный интервал отсчета, и все же большие значения  не позволили пользоваться схемой, минимизирующей выходную дисперсию.

Рис. 13.3. Схема регулирования с обратной связью для модели передаточной функции первого порядка и модели шума  при ограниченной дисперсии входа.

Рассмотрим теперь случай, когда модели шума и динамика системы опять определяются уравнениями (13.2.1) и (13.2.2), но необходимо ограничить дисперсию входного переменного . Оптимальная схема без ограничений обладает следующими свойствами: ошибки выхода  являются некоррелированными случайными величинами , и дисперсия выхода  имеет минимально возможное значение . В схемах с ограничением дисперсия  будет значительно больше , и ошибки  будут коррелированы.

Нашу задачу можно сформулировать следующим образом: пусть  может возрастать до некоторого значения , где  – положительная константа; найти схему регулирования, дающую минимальное значение .