11.2.2. Пример идентификации модели передаточной функции

При изучении адаптивной оптимизации [83] рассматривалась газовая печь, в которую подавались воздух и метан, а получалась смесь газов, содержащая двуокись углерода . Скорость подачи воздуха была постоянной, а скорость подачи метана могла произвольно изменяться; измерялась результирующая концентрация  в газах, выходящих из печи. Непрерывные данные, показанные на рис. 11.1, были собраны для получения информации о динамике системы в практически интересном диапазоне, где приближенно применимы линейные стационарные соотношения. Непрерывный случайный входной ряд  показанный в верхней части рис. 11.1, генерировался пропусканием белого шума через линейный фильтр. Процесс имел нулевое среднее значение и в реализации, используемой для эксперимента, варьировал от -2,5 до 2,5. Фактическая скорость подачи метана должна была изменяться в диапазоне от 0,5 до 0,7 куб. футов в минуту. Для обеспечения такого режима скорость подачи газа изменялась в соответствии с процессом:

.

Для простоты мы будем пользоваться «кодированным» входом . Результирующая передаточная функция для фактической скорости подачи газа легко получается соответствующей подстановкой. Ряд  в сводке временных рядов в конце этого тома содержит 296 пар последовательных наблюдений , считанных с непрерывных записей с 9-секундным шагом. В этом частном эксперименте характер входного возмущения был известен поскольку оно тщательно подбиралось. Однако мы будем действовать, как если бы вход был неизвестен. Выборочные авто- и взаимные корреляционные функции  и  быстро затухают, подтверждая отсутствие необходимости во взятии разностей. К входу  была применена обычная процедура идентификации и подгонки. Она показала, что вход хорошо описывается процессом авторегрессии третьего порядка

с  и . Затем к входному и выходному рядам были применены преобразования

 ,

для получения рядов  и  с , . Выборочная взаимная корреляционная функция для процессов  и  приведена в табл. 11.1; там же дана выборочная оценка (11.2.12) функции отклика на единичный импульс

 .

Приближенные стандартные ошибки выборочной взаимной корреляций , показанные в табл. 11.1, — это квадратные корни из дисперсий, полученных по формуле (11.1.7) со следующими дополнительными условиями:

а) взаимные корреляции, до задержки +2 включительно и начиная с задержки +8 и более, равны нулю,

б) автокорреляции  равны нулю для ,

в) автокорреляции  равны нулю для ,

г) теоретические значения автокорреляций заменены выборочными значениями из табл. 11.2.

Таблица 11.1. Выборочная взаимная корреляционная функция после предварительного выравнивания спектра и приближенная функция отклика на единичный импульс по данным газовой печи

Выборочные взаимные корреляции вместе с пределами в одну и две стандартные ошибки, отложенными от нуля, представлены на рис. 11.5. В этом примере стандартные ошибки мало отличаются от приближенных значений , что соответствует гипотезе об отсутствии корреляции между рядами.

Рис. 11.5. Выборочная взаимная корреляционная функция для данных газовой печи после предварительного выравнивания спектра.

Значения  и  малы по сравнению с их стандартными ошибками; это указывает, что  (запаздывание на два полных интервала). Согласно результатам разд. 11.2.1, последующий ход значений  можно объяснить, идентифицировав модель  либо как (1,2,3), либо как (2,2,3). Первый вариант означает, что  и  - предварительные значения, не подчиняющиеся каким-либо закономерностям, a  дает начальное значение для экспоненциального затухания в соответствии с разностным уравнением .  Второй вариант означает, что  — единственное предварительное значение, а  и  дают начальные значения для суммы двух экспонент, являющейся решением разностного уравнения .

Тогда предварительная идентификация приводит к модели передаточной функции вида

                       (11.2.13)

или, возможно, к ее упрощенной версии с .

Предварительные оценки. Принимая модель (11.2.13) с , получим уравнения (10.2.8) для функции отклика на единичный импульс

                                              (11.2.14)

Подставляя в последние два уравнения этой системы оценки  из табл. 11.1, получаем

,

,

что дает предварительные выборочные оценки . Если подставить теперь эти значения во второе, третье, четвертое уравнения (11.2.14), получаем

,

,

.

Таким образом, предварительная идентификация дает следующую пробную модель передаточной функции:

.

Полученные таким путем выборочные оценки можно использовать как начальные значения для более эффективных итеративных методов оценивания, которые будут описаны в разд. 11.3. Отметим, что выборочная оценка  очень мала; этот параметр можно было бы опустить, но мы пока сохраним его.