11.2.2. Пример идентификации модели передаточной функции
При
изучении адаптивной оптимизации [83] рассматривалась газовая печь, в которую
подавались воздух и метан, а получалась смесь газов, содержащая двуокись
углерода
.
Скорость подачи воздуха была постоянной, а скорость подачи метана могла
произвольно изменяться; измерялась результирующая концентрация
в газах, выходящих
из печи. Непрерывные данные, показанные на рис. 11.1, были собраны для
получения информации о динамике системы в практически интересном диапазоне, где
приближенно применимы линейные стационарные соотношения. Непрерывный случайный
входной ряд
показанный
в верхней части рис. 11.1, генерировался пропусканием белого шума через
линейный фильтр. Процесс имел нулевое среднее значение и в реализации,
используемой для эксперимента, варьировал от -2,5 до 2,5. Фактическая скорость
подачи метана должна была изменяться в диапазоне от 0,5 до 0,7 куб. футов в
минуту. Для обеспечения такого режима скорость подачи газа изменялась в
соответствии с процессом:
.
Для
простоты мы будем пользоваться «кодированным» входом
. Результирующая передаточная
функция для фактической скорости подачи газа легко получается соответствующей
подстановкой. Ряд
в
сводке временных рядов в конце этого тома содержит 296 пар последовательных
наблюдений
,
считанных с непрерывных записей с 9-секундным шагом. В этом частном
эксперименте характер входного возмущения был известен поскольку оно тщательно
подбиралось. Однако мы будем действовать, как если бы вход был неизвестен.
Выборочные авто- и взаимные корреляционные функции
и
быстро затухают, подтверждая
отсутствие необходимости во взятии разностей. К входу
была применена обычная
процедура идентификации и подгонки. Она показала, что вход хорошо описывается
процессом авторегрессии третьего порядка
с
и
. Затем к входному и
выходному рядам были применены преобразования
,
для
получения рядов
и
с
,
. Выборочная взаимная
корреляционная функция для процессов
и
приведена в табл. 11.1; там же дана
выборочная оценка (11.2.12) функции отклика на единичный импульс
.
Приближенные
стандартные ошибки выборочной взаимной корреляций
, показанные в табл. 11.1, — это
квадратные корни из дисперсий, полученных по формуле (11.1.7) со следующими
дополнительными условиями:
а) взаимные корреляции, до
задержки +2 включительно и начиная с задержки +8 и более, равны нулю,
б) автокорреляции
равны нулю для
,
в) автокорреляции
равны нулю для
,
г) теоретические значения
автокорреляций заменены выборочными значениями из табл. 11.2.
Таблица
11.1. Выборочная
взаимная корреляционная функция после предварительного выравнивания спектра и
приближенная функция отклика на единичный импульс по данным газовой печи
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
-0,01
0,06
-0,02
|
0,05
0,06
0,10
|
-0,03
0,06
-0,06
|
-0,28
0,05
-0,53
|
-0,33
0,06
-0,63
|
-0,46
0,05
-0,88
|
-0,27
0,06
-0,52
|
-0,03
0,06
-0,06
|
0,03
0,06
0,06
|
-0,05
0,06
-0,10
|
Выборочные
взаимные корреляции вместе с пределами в одну и две стандартные ошибки,
отложенными от нуля, представлены на рис. 11.5. В этом примере стандартные
ошибки мало отличаются от приближенных значений
, что соответствует гипотезе об
отсутствии корреляции между рядами.
Рис. 11.5. Выборочная взаимная
корреляционная функция для данных газовой печи после предварительного
выравнивания спектра.
Значения
и
малы по сравнению с
их стандартными ошибками; это указывает, что
(запаздывание на два полных
интервала). Согласно результатам разд. 11.2.1, последующий ход значений
можно объяснить,
идентифицировав модель
либо как (1,2,3), либо как (2,2,3).
Первый вариант означает, что
и
- предварительные значения, не подчиняющиеся
каким-либо закономерностям, a
дает начальное значение для
экспоненциального затухания в соответствии с разностным уравнением
. Второй вариант
означает, что
—
единственное предварительное значение, а
и
дают начальные значения для суммы двух
экспонент, являющейся решением разностного уравнения
.
Тогда
предварительная идентификация приводит к модели передаточной функции вида
(11.2.13)
или,
возможно, к ее упрощенной версии с
.
Предварительные оценки. Принимая модель (11.2.13) с
, получим уравнения
(10.2.8) для функции отклика на единичный импульс
(11.2.14)
Подставляя
в последние два уравнения этой системы оценки
из табл. 11.1, получаем
,
,
что
дает предварительные выборочные оценки
. Если подставить теперь эти значения во
второе, третье, четвертое уравнения (11.2.14), получаем
,
,
.
Таким
образом, предварительная идентификация дает следующую пробную модель
передаточной функции:
.
Полученные
таким путем выборочные оценки можно использовать как начальные значения для
более эффективных итеративных методов оценивания, которые будут описаны в
разд. 11.3. Отметим, что выборочная оценка
очень мала; этот параметр можно было бы
опустить, но мы пока сохраним его.