ПРИЛОЖЕНИЕ П11.2. ВЫБОР ВХОДА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ

Пусть в качестве входа динамической системы можно выбрать по нашему усмотрению некоторый случайный процесс. Например, это может быть процесс авторегрессии, скользящего среднего или белый шум. Для того чтобы иллюстрировать проблемы, связанные с оптимальным выбором этого случайного процесса, достаточно рассмотреть элементарный пример.

П11.2.1. Конструирование оптимальных входов для простой системы

Пусть исследуется система с моделью передаточной функции — шума вида

,        ,           (П11.2.1)

где  — белый шум. Предположим также, что процессы на входе и выходе стационарны, a  обозначают отклонения этих процессов от соответствующих средних значений. Для больших выборок и любого фиксированного значения вероятности приближенное значение площади байесовской области высоких значений плотности вероятности для  и  также соответствующей доверительной области пропорционально , где — следующий определитель:

.

Мы попытаемся разработать способ минимизации этой площади и, следовательно, максимизации . Имеем

                                 (П11.2.2)

где

,   .                         

Значение определителя можно выразить через , а именно

.                   (П11.2.3)

Тогда, как и следовало ожидать, уменьшить площадь области можно, увеличивая  (т. е. изменяя переменное на входе в широких пределах). На практике могут существовать пределы допустимых изменений . Поэтому рассмотрим сначала случай, когда  фиксировано.

Решение для фиксированного . Поскольку , из (П11.2.3) следует, что для любого фиксированного  значение  будет максимально, если

,

т. е.

.

Существует бесчисленное множество способов обеспечения этого равенства при заданном

. Одно из возможных решений получается при

Следовательно, один из способов максимизировать  при фиксированном  — это заставить вход быть процессом авторегрессии

,

где  — белый шум с дисперсией .

Решение для фиксированного . До этого момента мы предполагали, что  не ограничено. В некоторых случаях мы, возможно, захотим избежать слишком больших изменений выхода, а не входа. Пусть  зафиксировано на некотором приемлемом уровне, а  не ограничено. Тогда можно выразить  через :

,        (П11.2.4)

где

,                                                   (П11.2.5)

и

,                                                 (П11.2.6)

Максимум  достигается при

,                              (П11.2.7)

т. е.

.

Опять существует бесконечное множество способов выполнить это равенство. В частности, мы можем получить

,                                                  (П11.2.8)

если вход будет следовать процессу авторегрессии

,                                          (П11.2.9)

где  — белый шум с дисперсией . Так как  положительно, знак параметра  этого процесса авторегрессии обратен найденному для оптимального входа в случае, когда фиксировано .

Решение при фиксированном . На практике могут встретиться случаи, когда желательно обойтись без излишне сильных изменений как на входе, так и на выходе. Если при этом заданное относительное уменьшение дисперсии  столь же важно, как такое же относительное уменьшение дисперсии , то целесообразно максимизировать  в предположении о постоянстве произведения . Определитель равен

                                    (П11.2.10)

и при заданном  достигает максимума при . Опять-таки существует бесчисленное множество способов достичь этого равенства. Однако если пользоваться в качестве входного процесса белым шумом, максимум  может быть достигнут при любом значении . При таком входе в соответствии с (П11.2.2)  — это положительный корень уравнения

,                     (П11.2.11)

где

П11.2.2. Численный пример

Пусть мы исследуем динамическую систему первого порядка (П11.2.1) с , , так что

,

где .

  фиксировано,  не ограничено. Пусть сначала необходимо максимизировать  при . Тогда оптимальным входом  будет, в частности, процесс авторегрессии

,

где  — белый шум с дисперсией . Как следует из (П11.2.2), дисперсия  выхода будет равна 2,49, и площадь байесовской области для  и . Для этого режима на входе будет пропорциональна .

  фиксировано,  не ограничено. Полученный ранее режим оптимален в предположении, что дисперсия входа  и дисперсия выхода  не ограничена. Она оказывается при этом равной 2,49. Если бы, наоборот, была неограниченной дисперсия входа, то при заданной дисперсии выхода 2,49 мы могли бы, конечно, достичь лучших результатов. Действительно, пользуясь (П11.2.6), находим , так что, согласно (П11.2.9), одним из возможных оптимальных процессов на входе при отсутствии ограничений, наложенных на дисперсию, был бы процесс авторегрессии

,

где  — белый шум с дисперсией . Дисперсия входа  увеличилась бы при этом до 2,91, а  которому пропорциональна площадь байесовской области, уменьшилось бы до .

Произведение  фиксировано. Рассмотрим наконец случай оптимизации режима на входе при фиксированном произведении . В предыдущем примере с фиксированным  мы нашли, что  при  и , так что их произведение . Если бы нашей целью было минимизировать  при постоянстве этого произведения на уровне 7,25, мы могли бы выбрать оптимальный режим на входе, не зная  и задав вход в виде белого шума . Согласно (П11.2.11), , ; в этом случае , т. е., как и следовало ожидать, слегка меньше, чем в предыдущем примере.

Стоит рассмотреть этот пример в свете спектральных представлений. Чтобы оптимизировать режим при фиксированном , мы подавали на вход процесс авторегрессии с положительным , имеющий большую мощность в области низких частот. Так как усиление системы на низких частотах велико, передача от  к  наиболее эффективна, и мы приходим к большим изменениям в . При фиксированном  мы подаем на вход процесс авторегрессии с отрицательным , мощность которого сосредоточена на высоких частотах. Так как передачу высоких частот от  к  система осуществляет неэффективно, необходимо ввести сильные возмущения в . При фиксированном  приемлем «компромиссный» вход в виде белого шума и знание  не обязательно. Этот способ максимизации эквивалентен минимизации корреляции между выборочными оценками  и ; действительно, если на вход подается белый шум, корреляция между этими оценками равна нулю.