11.4.2. Искусственный пример с двумя входами

Подгонка моделей более чем с одним входным рядом не вызывает принципиальных трудностей, если не считать увеличения числа анализируемых параметров.

Например, в случае двух входов можно записать модель как

где , , и — стационарные процессы. Для вычисления мы вначале вычислим при конкретных значениях параметров

, (11.4.3)

и при конкретных значениях параметров

. (11.4.4)

Тогда шум можно вычислить по формуле

, (11.4.5)

и, наконец, по формуле

. (11.4.6)

Искусственный пример. Ясно, что даже простая ситуация может привести к оцениванию большого числа параметров. В нижеследующем примере с двумя входными переменными и моделями первого порядка с запаздыванием имеется восемь неизвестных параметров. Для того чтобы определить, применима ли для оценок параметров в таких моделях нелинейная процедура наименьших квадратов, описанная в разд. 11.3.2, был проведен эксперимент с искусственными данными.

Рис. 11.8. Данные искусственного примера с двумя входами (ряд ).

Подробности эксперимента описаны в [85]. Данные генерировались моделью, -представление которой имело вид

(11.4.5)

с и . Входные переменные , изменялись в соответствии с рандомизированным -факториальным планом с тремя репликами. Предполагалось, что каждое значение на входе поддерживалось постоянным в течение 5 мин, а наблюдения на выходе делались каждую минуту. Данные представлены на рис. 11.8 и содержатся в виде ряда в сводке временных рядов в конце книги.

Для получения оценок наименьших квадратов использовалась итеративная нелинейная процедура с ограничениями, описанная в гл. 7. Необходимо было только вычислять . Так, для заданных значений параметров значения и можно было получить из

Они использовались для расчета :

Наконец, при заданных значения можно было вычислить по формуле

Предполагалось, что входы процесса поддерживаются в типичных условиях некоторое время до начала эксперимента, так что и и, следовательно, можно вычислять вперед с , а с .

Процедура опробовалась дважды, с разными наборами начальных значений. В первом расчете был взят набор параметров, который мог бы предложить человек, знакомый с изучаемым процессом. Во втором в качестве начального значения было взято среднее значение всех наблюдений, а остальные начальные значения были приравнены 0,1. Поэтому вторая попытка описывает значительно худшую ситуацию, чем обычно бывает на практике. В табл. 11.8 показано, что для первого набора начальных значений сходимость наступает после 5 итераций, а табл. 11.9 показывает, что для второго набора сходимость достигнута после 9 итераций. Эти результаты позволяют надеяться, что в реальных обстоятельствах оценивание системы с двумя входами не встретит серьезных трудностей.

Таблица 11.8. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании предположительных начальных значений

Интерация

Сумма квадратов

0
1
2
3
4
5
6
7
8

59,19
59,20
59,24
59,35
59,41
59,39
59,39
59,39
59,39

10,00
9,07
8,38
9,24
11,90
12,03
12,08
12,07
12,07

-7,00
-6,37
-5,35
-3,98
-3,40
-3,52
-3,53
-3,53
-3,53

-0,50
-0,58
-0,70
-0,75
-0,75
-0,80
-0,79
-0,79
-0,79

-0,50
-0,56
-0,59
-0,55
-0,56
-0,57
-0,56
-0,56
-0,56

1,00
1,33
2,03
3,45
5,21
4,99
5,03
5,03
5,03

1,00
1,31
1,75
1,95
1,66
1,76
1,77
1,77
1,77

0,10
0,24
0,39
0,36
0,22
0,21
0,21
0,21
0,21

2046,8
1085,4
621,5
503,5
463,7
461,8
461,8
461,8
461,8

Таблица 11.9. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании экстремальных начальных значений

Интерация

Сумма квадратов

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

59,19
59,19
59,22
59,21
59,21
59,31
59,61
59,47
59,41
59,39
59,39
59,39

0,10
0,24
1,62
1,80
3,01
6,17
15,83
10,31
11,89
12,07
12,07
12,07

0,10
-0,07
-0,29
-0,77
-1,31
-2,82
-3,25
-3,48
-3,41
-3,52
-3,53
-3,53

0,10
-1,51
-2,09
-1,75
-1,15
-0,93
-0,70
-0,74
-0,74
-0,79
-0,79
-0,79

0,10
1,77
-0,07
0,20
0,91
3,03
8,88
3,52
5,01
5,04
5,03
5,03

0,10
1,77
-0,07
0,20
0,91
3,03
8,88
3,52
5,01
5,04
5,03
5,03

0,10
-0,28
0,26
-0,10
0,22
1,20
1,64
1,63
1,65
1,76
1,77
1,77

0,10
0,15
0,29
0,56
0,72
0,67
0,26
0,23
0,20
0,21
0,21
0,21

2496,4
2190,5
1473,6
1016,8
743,1
611,4
534,2
501,9
462,8
461,8
461,8
461,8