11.4.2. Искусственный пример с двумя входами

Подгонка моделей более чем с одним входным рядом не вызывает принципиальных трудностей, если не считать увеличения числа анализируемых параметров.

Например, в случае двух входов можно записать модель как

с

,

где , ,  и  — стационарные процессы. Для вычисления  мы вначале вычислим при конкретных значениях параметров

,     (11.4.3)

и при конкретных значениях параметров

.   (11.4.4)

Тогда шум  можно вычислить по формуле

,                (11.4.5)

и, наконец,  по формуле

.                (11.4.6)

Искусственный пример. Ясно, что даже простая ситуация может привести к оцениванию большого числа параметров. В нижеследующем примере с двумя входными переменными и моделями первого порядка с запаздыванием имеется восемь неизвестных параметров. Для того чтобы определить, применима ли для оценок параметров в таких моделях нелинейная процедура наименьших квадратов, описанная в разд. 11.3.2, был проведен эксперимент с искусственными данными.

Рис. 11.8. Данные искусственного примера с двумя входами (ряд ).

Подробности эксперимента описаны в [85]. Данные генерировались моделью, -представление которой имело вид

     (11.4.5)

с  и . Входные переменные ,  изменялись в соответствии с рандомизированным -факториальным планом с тремя репликами. Предполагалось, что каждое значение на входе поддерживалось постоянным в течение 5 мин, а наблюдения на выходе делались каждую минуту. Данные представлены на рис. 11.8 и содержатся в виде ряда  в сводке временных рядов в конце книги.

Для получения оценок наименьших квадратов использовалась итеративная нелинейная процедура с ограничениями, описанная в гл. 7. Необходимо было только вычислять . Так, для заданных значений параметров  значения  и  можно было получить из

,

.

Они использовались для расчета :

.

Наконец, при заданных  значения  можно было вычислить по формуле

.

Предполагалось, что входы процесса поддерживаются в типичных условиях некоторое время до начала эксперимента, так что  и  и, следовательно,  можно вычислять вперед с , а  с .

Процедура опробовалась дважды, с разными наборами начальных значений. В первом расчете был взят набор параметров, который мог бы предложить человек, знакомый с изучаемым процессом. Во втором в качестве начального значения  было взято среднее значение  всех наблюдений, а остальные начальные значения были приравнены 0,1. Поэтому вторая попытка описывает значительно худшую ситуацию, чем обычно бывает на практике. В табл. 11.8 показано, что для первого набора начальных значений сходимость наступает после 5 итераций, а табл. 11.9 показывает, что для второго набора сходимость достигнута после 9 итераций. Эти результаты позволяют надеяться, что в реальных обстоятельствах оценивание системы с двумя входами не встретит серьезных трудностей.

Таблица 11.8. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании предположительных начальных значений

Таблица 11.9. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании экстремальных начальных значений