11.2.1. Идентификация моделей передаточной функции с предварительным выравниванием спектра входа

Если бы входом системы явился белый шум, процесс идентификации мог быть значительно упрощен. Как более подробно будет рассмотрено в разд. 11.6, в случае, если мы имеем возможность управлять входом, рекомендуется использовать в качестве входа белый шум. Когда первоначальный вход подчиняется другому стохастическому процессу, можно упростить идентификацию при помощи выравнивания спектра («выбеливания»).

Пусть входной процесс  является стационарным (после взятия соответствующего числа разностей) и представимым какой- либо моделью из общего линейного класса моделей авторегрессии — скользящего среднего. Тогда при заданном наборе данных мы можем применить наши обычные методы идентификации и оценивания для получения модели процесса

,                                     (11.2.7)

который с достаточной точностью преобразует коррелированный входной ряд  в некоррелированный ряд — белый шум . В то же время мы можем получить оценку  для  из суммы квадратов . Если теперь применить то же преобразование к , то получим

,                                               

и тогда модель (11.2.3) можно представить в виде

,                                          (11.2.8)

где  — преобразованные значения шума, определенные как

,                                     (11.2.9)

Умножая обе стороны (11.2.8) на  и переходя к математическим ожиданиям, получаем

,                                            (11.2.10)

где — это взаимная ковариация между  и  при задержке . Тогда

или, если воспользоваться взаимными корреляциями,

,       ,              (11.2.11)

Следовательно, после «выравнивания» спектра входа взаимная корреляционная функция между выравненным входом и соответственно преобразованным выходом прямо пропорциональна функции отклика на единичный импульс. Заметим, что эффект выравнивания спектра состоит в превращении неортогональной системы уравнений (11.2.6) в ортогональную систему (11.2.10).

На практике мы не знаем теоретическую взаимную корреляционную функцию   и должны подставить выборочные оценки в (11.2.11), что дает

,          ,              (11.2.12)

Полученные таким образом предварительные оценки  опять-таки статистически неэффективны, но могут помочь выбору подходящих операторов  и  в модели передаточной функции. Приведем теперь практический пример такой идентификации и предварительного оценивания.